Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 42
Se e forem duas funções tal que e , então e serão funções inversas. Mostre que e são funções inversas
Passo 1
O nosso método pra solucionar esse tipo de questão vai ser bem simples. O problema quer que mostremos que as duas funções são inversas entre si e pra provar isso ele nos dá uma alternativa show de bola, vamos nos aproveitar dela:
- Fazer e chegar que isso é realmente igual a .
- Fazer g e ver que isso também é igual a .
Daí teremos mostrado que ambas são funções inversas!
Passo 2
Essa é bem tranquila de perceber, né? Já que tirar a raiz quadrada e elevar um número ao quadrado são operações inversas por definição, mas vamos mostrar no papel. Fazedo
Reescrevendo a raiz:
Agora multiplicando os expoentes:
Agora é só mostrar para a outra função composta.
Passo 3
fica então:
Maaas tem um detalhe! Perceba que o domínio da nossa função é apenas para valores não negativos, então esse módulo fica:
Mostradíssimo!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)