Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 39b
Determine se a função composta é par ou ímpar em cada um dos seguintes casos: e são ambas ímpares.
Passo 1
Se as duas funções possuem simetria ímpar, podemos afirmar que:
E
E queremos saber da simetria da função composta. Isso quer dizer que precisamos achar alguma relação tipo:
Ou
Que seriam os dois casos quando a função composta é par e ímpar respectivamente. Se não for possível satisfazer nenhuma dessas duas afirmações, a função não é nem par nem ímpar. Vamos fazer algumas substituições com o que temos e dá pra chegar no resultado de boas.
Passo 2
Fazendo a composição das funções:
Agora precisamos achar alguma outra informação para concluir algo sobre a paridade da função composta. Podemos reescrever isso como:
E a questão nos diz que . Então podemos reescrever isso como:
Também podemos reescrever como porque a é ímpar!
Ou seja:
Agora passando o sinal negativo para o outro lado:
Satisfizemos aquela 2ª equação lá do 1º passo! Então a é ímpar.
Resposta
Ímpar