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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.1 - Ex. 16

Ache o valor exato da quantidade dada:

  1. sen^(- 1) (sen (pi)/(3))
  2. sen^(- 1) (sen (- (pi)/(3)))
  3. sen^(- 1) (sen (2 pi)/(3))
  4. sen^(- 1) (sen (5 pi)/(3))

Passo 1

  1. sen^(- 1) underset((sqrt(3))/(2))(ubrace (sen (pi)/(3)))

    2. Devemos lembrar aqui que - (pi)/(2) <= sen^(- 1) x <= (pi)/(2) , ou seja, todos os resultados devem ser ângulos do primeiro ou quarto quadrante.

    Neste caso, temos sen^(- 1) (sqrt(3))/(2) = (pi)/(3) . Então,

    sen^(- 1) (sen (pi)/(3)) = (pi)/(3)

    Passo 2

  2. sen^(- 1) underset(- (sqrt(3))/(2))(ubrace (sen (- (pi)/(3))))

    3. Neste caso, temos sen^(- 1) (- (sqrt(3))/(2)) = - (pi)/(3) . Ou seja,

    sen^(- 1) (sen (- (pi)/(3))) = - (pi)/(3)

    Passo 3

  3. sen^(- 1) (sen (2 pi)/(3))

    4. Vamos converter radianos para graus usando a fórmula alpha = (180 ° * theta)/(pi) em que theta é o ângulo em radianos. Dessa forma fica mais fácil conhecer os valores. Seja então:

    alpha = (180 ° * (2 pi)/(3))/(pi) = 120 °

    Portanto, sen^(- 1) (sen (2 pi)/(3)) = sen^(- 1) ( sen 120 ° ) = sen^(- 1) underset(sen 60 °)(ubrace (sen ( 180 ° - 120 ° ))) = sen^(- 1) (sqrt(3))/(2) = (pi)/(3)

    Passo 4

  4. sen^(- 1) (sen (5 pi)/(3))

Vamos converter radianos para graus usando a fórmula do item c). Seja então:

alpha = (180 ° * (5 pi)/(3))/(pi) = 300 °

Portanto, sen^(- 1) (sen (5 pi)/(3)) = sen^(- 1) ( sen 300 ° ) = sen^(- 1) underset(- sen 60 °)(ubrace (sen ( - 60 ° ))) = sen^(- 1) (- (sqrt(3))/(2)) = - (pi)/(3)

Resposta

  1. (pi)/(3)
  2. – (pi)/(3)
  3. (pi)/(3)
  4. – (pi)/(3)
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