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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 1

Prove a fórmula indicada desta seção.

Fórmula 1 : senh - 1 ⁡ x = ln ⁡ x + x 2 + 1 , x um número real qualquer.

Passo 1

Vamos começar fazendo:

y = senh - 1 ⁡ x

Dessa forma,

x = senh ⁡ y

Lembrando que

senh ⁡ y = e y - e - y 2

Vamos chegar na expressão

x = e y - e - y 2

Passo 2

Vamos resolver essa equação exponencial, buscando o valor de y .

x = e y - e - y 2

x = e y - 1 e y 2

Fazendo e y = a , vamos ter:

x = a - 1 a 2

x = a 2 - 1 a 2

2 x = a 2 - 1 a

a 2 - 2 a x - 1 = 0

Usando Bhaskaras:

a = - - 2 x ± - 2 x 2 - 4 1 - 1 2

a = 2 x ± 4 x 2 + 4 2

Colocando o 4 para fora da raiz

a = 2 x ± 2 x 2 + 1 2

a = x ± x 2 + 1

Passo 3

Agora vamos fazer

a = e y

São duas equações:

e y = x + x 2 + 1

e y = x - x 2 + 1

Mas aquela segunda nunca vai ter solução, isso porque a raiz é um pouco maior que x , o que faz a subtração ser negativa. Não existe valor de y que deixa a exponencial negativa.

Então vamos ter;

e y = x + x 2 + 1

Aplicando logaritmo natural dos dois lados

ln ⁡ e y = ln ⁡ x + x 2 + 1

y = ln ⁡ x + x 2 + 1

Como fizemos y = senh - 1 ⁡ x , vamos ter

senh - 1 ⁡ x = ln ⁡ x + x 2 + 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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