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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 8

Prove a fórmula indicada desta seção.

Fórmula (12) : D_x [co sech^(- 1) u] = - (1)/(|u| sqrt(1 + u^2)) D_x u , 0 < u < 1

Passo 1

Primeiramente, temos que acha uma expressão melhor para a secante hiperbólica inversa.

co sech^(- 1) x = y

x = co sech y

Teremos

x = (1)/(senh y)

senh y = (1)/(x)

y = senh^(- 1) (1)/(x)

Então

cosech^(- 1) x = senh^(- 1) (1)/(x)

E podemos derivar direto usando a regra da cadeia.

cosech^(- 1) u = senh^(- 1) (1)/(u)

Passo 2

Lembrando que:

(senh^(- 1) u)^' = (1)/(sqrt(u^2 + 1)) u^'

Com o (1)/(u) no lugar de u

(cosech^(- 1) u)^' = (senh^(- 1) (1)/(u))^' = (1)/(sqrt(((1)/(u))^2 + 1)) ((1)/(u))^'

(cosech^(- 1) u)^' = (senh^(- 1) (1)/(u))^' = (1)/(sqrt(((1)/(u))^2 + 1)) (- (1)/(u^2)) u^'

Arrumando aquela raiz:

sqrt(((1)/(u))^2 + 1) = sqrt((1)/(u^2) + 1) = sqrt((1 + u^2)/(u^2)) = (sqrt(1 + u^2))/(sqrt(u^2))

Lembrando que

sqrt(u^2) = |u|

Dando

(sqrt(1 + u^2))/(|u|)

(sech^(- 1) u)^' = (cosh^(- 1) (1)/(u))^' = (1)/((sqrt(1 + u^2))/(|u|)) (- (1)/(u^2)) u^'

Podemos escrever

u^2 = |u|^2

Para poder simplificar

(co sech^(- 1) u)^' = (sen h^(- 1) (1)/(u))^' = - (1)/(|u| sqrt(u^2 + 1)) u^'

Passo 3

Vamos so ajustar a nomenclatura.

Aquele D_x é o mesmo que ao linha, significa derivada. Então, era basicamente isso haha

D_x [cosech^(- 1) u] = - (1)/(|u| sqrt(1 + u^2)) D_x u

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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