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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 25

Calcule a integral definida:

int_0^2 (x^3 d x)/(sqrt(16 - x^2))

Passo 1

Podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok? Antes de tentar resolver a integral, vamos fazer a seguinte manipulação:

int (x^3 d x)/(sqrt(16 - x^2)) = int (x^2 * x d x)/(sqrt(16 - x^2))

Pronto! Vamos tentar a substituição u = 16 - x^2 -> d u = - 2 x d x -> x d x = - (d u)/(2) . Vamos tentar trocar a variável da integral.

int (x^2 * x d x)/(sqrt(16 - x^2)) = int (x^2 * (- (d u)/(2)))/(u^((1)/(2)))

Perceba que a integral não está totalmente na variável u , ainda sobrou um x^2 , porém, temos que x^2 = 16 - u , então:

int (x^2 * x d x)/(sqrt(16 - x^2)) = int (( 16 - u ) * (- (d u)/(2)))/(u^((1)/(2))) = - (1)/(2) int (16 - u)/(u^((1)/(2))) d u

Essa é uma integral quase imediata.

Passo 2

Para resolver a integral acima, vamos fazer o seguinte:

- (1)/(2) int (16 - u)/(u^((1)/(2))) d u = - (1)/(2) int ((16)/(u^(1 // 2)) - (u)/(u^(1 // 2))) d u = - (1)/(2) int (16 u^(- (1)/(2)) - u * u^(- (1)/(2))) d u

Agora vamos usar int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1) + C n != - 1 .

- (1)/(2) int (16 u^(- (1)/(2)) - u^((1)/(2))) d u = - (1)/(2) ((16 u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1) - (u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)) + C = - (1)/(2) ((16 u^((1)/(2)))/((1)/(2)) - (u^((3)/(2)))/((3)/(2))) + C

= - (16 u^((1)/(2)) - (u^((3)/(2)))/(3)) + C = - (16 sqrt(16 - x^2) - (sqrt((16 - x^2)^3))/(3)) + C

Pois, u = 16 - x^2 . Simplificando:

= - (16 sqrt(16 - x^2) - ((16 - x^2) sqrt(16 - x^2))/(3)) + C

= - (1)/(3) (( 3 * 16 - ( 16 - x^2 ) ) sqrt(16 - x^2)) + C

= - (1)/(3) (( 32 + x^2 ) ) sqrt(16 - x^2)) + C

Passo 3

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_0^2 (x^3 d x)/(sqrt(16 - x^2)) (= - (1)/(3) (( 32 + x^2 ) ) sqrt(16 - x^2))|_0^2

= - (1)/(3) (( 32 + 2^2 ) sqrt(16 - 2^2) - ( 32 + 0^2 ) sqrt(16 - 0^2))

= - (1)/(3) ((36) sqrt(12) - (32) sqrt(16)) = - (1)/(3) ((36) sqrt(12) - (32) 4) = - (1)/(3) (72 sqrt(3) - 128)

= - 24 sqrt(3) + (128)/(3)

E esse é o resultado procurado.

Resposta

int_0^2 (x^3 d x)/(sqrt(16 - x^2)) = - 24 sqrt(3) + (128)/(3)

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