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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.5 - Ex. 9

(a) Encontre o valor médio de f no intervalo dado.

(b) Encontre c tal que f m e d = f ( c ) .

(c) Esboce o gráfico de f e um retângulo cuja área seja a mesma que a área sob o gráfico de f.

f x = x - 3 2 ,           [ 2 ,   5 ]

Passo 1

Muito bem, antes de começar vamos lembrar de como se calcula o valor médio da função, ok?

Tranquilo, não é?

Só vamos substituir:

f m e d = 1 5 - 2 ∫ 2 5 x - 3 2 . d x

Para resolver usamos a substituição:

u = x - 3

Derivando:

d u = d x

Substituindo:

f m e d = 1 3 ∫ 2 5 u 2 . d u

Resolvendo:

f m e d = 1 3 . u 3 3 | 5 2

Substituindo u:

f m e d = 1 9 . ( x - 3 ) ³ | 5 2

Aplicando o intervalo:

f m e d = 1 9 . ( 5 - 3 ) ³ - ( 2 - 3 ) ³

f m e d = 1 9 . ( 2 ) ³ - ( - 1 ) ³ = 1 9 8 + 1 = 1

Já conseguimos a letra a! Bora pra b!

Passo 2

Na letra b queremos um valor c, tal que a função seja igual a 1:

f c = f m e d = 1

Vamos substituir c na função dada:

c - 3 2 = 1

Tiramos a raiz para poder descobrir c:

c - 3 = ± 1

Isolamos c:

c = 3 ± 1

Então nosso c poderá ser:

c ' = 4         o u         c ' ' = 2

Passo 3

Vamos desenhar a função dada pelo problema durante o intervalo, com x indo de 2 até 5.

Qual a área abaixo do gráfico?

Basta integrarmos a função neste intervalo, não é?

A = ∫ 2 5 x - 3 2 . d x = x - 3 3 3 | 5 2

A = 1 3 ( 5 - 3 ) ³ - ( 2 - 3 ) ³ = 9 3 = 3

Agora só precisamos fazer um retângulo cuja área também é 3. Se a área de um retângulo é dada por:

A R = B × h = 3

Então, podemos fazer um desenho cuja:

h = 1

B = 3

Desenhando:

Resposta

  1. f m e d = 1 ;
  2. c ' = 4         o u         c ' ' = 2 ;
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