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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 6.5 - Ex. 8

Encontre o valor médio da função no intervalo dado.

h u = 3 - 2 u - 1 ,           [ - 1,1 ]

Passo 1

Muito bem, antes de começar vamos lembrar de como se calcula o valor médio da função, ok?

Tranquilo, não é?

Só vamos substituir:

h m e d = 1 1 - ( - 1 ) ∫ - 1 1 3 - 2 u - 1 . d u = 1 2 ∫ - 1 1 1 3 - 2 u . d u

Para resolver usamos a substituição:

v = 3 - 2 u

Derivando:

d v = - 2 d u → - d v 2 = d u

Substituindo:

h m e d = 1 2 ∫ - 1 1 1 v . - d v 2

A constante sai da integral:

h m e d = - 1 4 ∫ - 1 1 1 v . d v

h m e d = - 1 4 . ln ⁡ | v | | 1 - 1

Substituindo v:

h m e d = - 1 4 . ln ⁡ | 3 - 2 u | | 1 - 1

Aplicando o intervalo:

h m e d = - 1 4 . ln ⁡ 3 - 2.1 - ln ⁡ 3 - 2 . - 1

h m e d = - 1 4 . ln ⁡ 1 - ln ⁡ 5 = ln ⁡ 5 4

E prontoo!

Resposta

h m e d = ln ⁡ 5 4

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É verdade que o valor médio de uma função integrável em um intervalo de comprimento 2 é a metade da integral da função ao longo do intervalo? Justifique sua resposta.
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