Encontre os valores de b tais que o valor médio de f x = 2 + 6 x - 3 x ² no intervalo [ 0 , b ] é igual a 3 .

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😇

Nesse problema foi dada a função f x = 2 + 6 x - 3 x 2 e nosso objetivo é obter um valor de b de modo que o valor medio de f no intervalo 0 , b seja igual a 3 .

Parece complicado? 👀

O valor medio de uma função é dado por

f m e d = 1 ∆ x ∫ a b f x d x

Em que ∆ x = a , b .

Então o que temos que fazer é aplicar essa formulinha e obter o valor de b .

Veja só! 😎

Passo 2

O requisito é tal que

f m e d = 1 b - 0 ∫ 0 b f x d x = 3

O LHS dessa equação é igual a

f m e d = 1 b ∫ 0 b 2 + 6 x - 3 x 2 d x = 1 b 2 x + 3 x 2 - x 3 0 b

f m e d = 2 + 3 b - b 2

Então nós resolvemos a equação:

2 + 3 b - b 2 = 3 ↔ b 2 - 3 b + 1 = 0

Por Bhaskara, temos

b = 2 ± - 3 2 - 4 · 1 · 1 2 · 1

b = 3 ± 5 2

Entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

b = 3 ± 5 2 .

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