Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 42
Ache os valores de máximo e mínimo da sujeita àsrestrições dadas. Utilize um sistema computacional algébrico para resolver o sistema de equações proveniente do uso dos multiplicadores de Lagrange. (Se seu CAS acha some uma solução, você pode necessitar do uso de comandos adicionais).
Passo 1
Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.
Precisamos encontrar aqui os valores máximos e mínimos da função:
Dentro das restrições de :
E:
Temos que
Então vamos calcular a igualdade com as restrições:
Então a gente tem uma adaptação dos multiplicadores de Lagrange, agora com duas restrições. Veja que os multiplicadores irão nos ajudar a encontrar valores de que serão posteriormente nas restrições, e assim poderemos encontrar seus valores numéricos.
Após isso, basta colocarmos esse valores na função, o ponto que nos de o maior valor de é o de máximo, e o ponto que nos der o menor valor é o de mínimo.
Veja que precisaremos calcular as derivadas parciais para encontrarmos os gradientes das funções.
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais, elas são encontradas derivando em relação a variável que a gente quer, e considerando todas as outras variáveis como constantes.
Então vamos calcular a derivada parcial de :
E para :
E para :
O gradiente é dado por:
Isso implica que:
Agora para :
Temos então:
Continuando com a derivada parcial de em relação a :
E por ultimo, em relação a :
Agora para :
Para :
Então vamos continuar com :
E por ultimo:
Passo 3
Teremos então:
Então, para que a igualdade seja verdadeira, teremos:
Para :
E por ultimo vamos para :
Teremos então que resolver essa equações e satisfazer as restrições;
E
Passo 4
Usando um CAS para resolver esses 5 equações simultaneamente para , , , e (no Maple, use o comando allvalues), obtemos 4 reais soluções valiosas:
Passo 5
Substituir esses valores em , temos que:
Então
Assim, o máximo é aproximadamente e o mínimo é aproximadamente
Resposta
o máximo é aproximadamente e o mínimo é aproximadamente