Ache os valores de máximo e mínimo da f sujeita àsrestrições dadas. Utilize um sistema computacional algébrico para resolver o sistema de equações proveniente do uso dos multiplicadores de Lagrange. (Se seu CAS acha some uma solução, você pode necessitar do uso de comandos adicionais).

f(x, y, z) = x + y + z; x^2 - y^2 = z, x^2 + z^2 = 4

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Precisamos encontrar aqui os valores máximos e mínimos da função:

f x , y , z = x + y + z

Dentro das restrições de x , y , z , :

x 2 - y 2 = z

E:

x 2 + z 2 = 4

Temos que

f x , y , z = x + y + z ,     g x , y , z = x 2 - y 2 - z ,     h x , y , z = x 2 + z 2 - 4

Então vamos calcular a igualdade com as restrições:

∆ f = λ ∇ g + μ ∇ h

Então a gente tem uma adaptação dos multiplicadores de Lagrange, agora com duas restrições. Veja que os multiplicadores irão nos ajudar a encontrar valores de x , y , z , que serão posteriormente nas restrições, e assim poderemos encontrar seus valores numéricos.

Após isso, basta colocarmos esse valores na função, o ponto que nos de o maior valor de f é o de máximo, e o ponto que nos der o menor valor é o de mínimo.

Veja que precisaremos calcular as derivadas parciais para encontrarmos os gradientes das funções.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas parciais, elas são encontradas derivando em relação a variável que a gente quer, e considerando todas as outras variáveis como constantes.

f x , y , z = x + y + z

Então vamos calcular a derivada parcial de x :

f x = 1

E para y :

f y = 1

E para z :

f z = 1

O gradiente é dado por:

∇ f = f x , f y , f z

Isso implica que:

∇ f 1,1 , 1

Agora para ∇ g :

g x , y , z = x 2 - y 2 - z

Temos então:

g x = 2 x

Continuando com a derivada parcial de em relação a y :

g y = - 2 y

E por ultimo, em relação a z :

g z = - 1

Agora para h :

h x , y , z = x 2 + z 2 - 4

Para h x :

h x = 2 x

Então vamos continuar com h y :

h y = 0

E por ultimo:

h z = 2 z

Passo 3

Teremos então:

1,1 , 1 = λ 2 x , - 2 y , - z + μ 2 x , 0,2 z  

Então, para que a igualdade seja verdadeira, teremos:

1 = 2 λ x + 2 μ x

Para y :

1 = - 2 λ y

E por ultimo vamos para z :

1 = - λ + 2 μ z

Teremos então que resolver essa equações e satisfazer as restrições;

x 2 - y 2 = z

E

x 2 + z 2 = 4

Passo 4

Usando um CAS para resolver esses 5 equações simultaneamente para x , y , z , λ e μ (no Maple, use o comando allvalues), obtemos 4 reais soluções valiosas:

x ≈ - 1.652878 ,   y ≈ - 1.964194 ,   z ≈ - 1.126052 ,   λ ≈ 0.254557 ,   μ ≈ - 0.557060

x ≈ - 1.502800 ,   y ≈ 0.968872 ,   z ≈ 1.319694 ,   λ ≈ - 0.516064 ,   μ ≈ 0.183352

x ≈ - 0.992513 ,   y ≈ 1.649677 ,   z ≈ - 1.736352 ,   λ ≈ - 0.303090 ,   μ ≈ - 0.200682

x ≈ 1.895178 ,   y ≈ 1.718347 ,   z ≈ 0.638984 ,   λ ≈ - 0.290977 ,   μ ≈ 0.554805

Passo 5

Substituir esses valores em f , temos que:

f   - 1.652878 , - 1.964194 , - 1.126052 ≈ - 4.7431

f   ( - 1.502800,0.968872,1.319694 ) ≈ 0.7858

f - 0.992513,1.649677 , - 1.736352 ≈ - 1.0792

f   ( 1.895178,1.718347,0.638984 ) ≈ 4.2525

Então

Assim, o máximo é aproximadamente 4.2525 e o mínimo é aproximadamente - 4.7431

Resposta

o máximo é aproximadamente 4.2525 e o mínimo é aproximadamente - 4.7431

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