Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 15
Formiga em uma placa de metal A temperatura em um
ponto (x, y) em uma placa de metal é T(x, y) = 4x2 – 4xy + y2.
Uma formiga sobre a placa anda ao redor de uma circunferência de raio 5 centrado na origem. Quais são as temperaturas
mais alta e mais baixa encontradas pela formiga?
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
Neste exercício, iremos verificar que a temperatura em um ponto sobre uma chapa metálica é . Uma formiga anda sobre essa chapa, fazendo a trajetória de um círculo de raio 5 centrada na origem. Você sabe quais os pontos de maior e menor temperatura encontrada pela formiga? Vamos acompanhar a resolução para verificarmos esses pontos. Acompanhe!
Passo 2
Step 2 of 5 人Primeiramente, encontraremos o gradiente da função temperatura para cálculo por método dos multiplicadores de Lagrange, observe:
Repare que a restrição pode ser reescrita da seguinte forma:
Agora, aplicaremos o método dos multiplicadores de Lagrange, veja:
Aqui, separando as componentes, temos:
Isolando na segunda equação:
E usando o valor de y encontrado na primeira:
Encontramos que os possiveis valores que satisfazem a igualdade são:
Caso 1: Se , então (substituindo em ). Entretanto, o ponto não está sobre a função . Logo .
Passo 3
Caso 2: Se , então (substituindo em ). Substituindo na função o valor encontrado, temos:
Passo 4
Caso 3: Se , então (substituindo em ). Substituindo na função o valor encontrado, temos:
Passo 5
Assim, temos ou que ou que .Aqui, voltamos os pontos encontrados no caso 3 , e encontramos a resposta do nosso exercício:. sendo esse o valor mínimo encontrado pela formiga., sendo esse o valor máximo encontrado pela formiga.
Resposta
Resposta nos passos.