Formiga em uma placa de metal A temperatura em um

ponto (x, y) em uma placa de metal é T(x, y) = 4x2 – 4xy + y2.

Uma formiga sobre a placa anda ao redor de uma circunferência de raio 5 centrado na origem. Quais são as temperaturas

mais alta e mais baixa encontradas pela formiga?

Step 2 of 5 人Primeiramente, encontraremos o gradiente da função temperatura para cálculo por método dos multiplicadores de Lagrange, observe:

Repare que a restrição pode ser reescrita da seguinte forma:

Agora, aplicaremos o método dos multiplicadores de Lagrange, veja:

Aqui, separando as componentes, temos:

Isolando na segunda equação:

E usando o valor de y encontrado na primeira:

Encontramos que os possiveis valores que satisfazem a igualdade são:

Caso 1: Se , então (substituindo em ). Entretanto, o ponto não está sobre a função . Logo .

Caso 2: Se , então (substituindo em ). Substituindo na função o valor encontrado, temos:

Caso 3: Se , então (substituindo em ). Substituindo na função o valor encontrado, temos:

Assim, temos ou que ou que .Aqui, voltamos os pontos encontrados no caso 3 , e encontramos a resposta do nosso exercício:. sendo esse o valor mínimo encontrado pela formiga., sendo esse o valor máximo encontrado pela formiga.