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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 12

Retângulo de perímetro mais longo em uma elipse Encontre as dimensões do retângulo de maior perímetro que pode

ser inscrito na elipse x2/a2 + y2/b2 = 1 com lados paralelos aos

eixos coordenados. Qual é o maior perímetro?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, encontraremos as dimensões do retângulo de maior perímetro que podem ser inscritos na elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 com lados paralelos aos eixos de coordenadas. Vamos verificar então qual é o maior perímetro? Fique atento aos passos a seguir!

Passo 2

Seja o perímetro P = 4 x + 4 y . A restrição então é:

g ( x , y ) = x 2 a 2 + y 2 b 2 - 1 = 0 . 

Passo 3

E o gradiente é:

∇ g = 2 x a 2 i + 2 y b 2 j

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos:

∇ P = λ ∇ g 4 = 2 x a 2 λ 4 = 2 y b 2 λ λ = 2 a 2 x  e  4 = 2 y b 2 2 a 2 x

Com 4 = 2 y b 2 2 a 2 x , concluímos que:

y = b 2 a 2 x

Vamos voltar à restrição e, substituiremos, chegaremos a:

x 2 a 2 + b 2 a 2 2 x 2 b 2 = 1 x 2 a 2 + b 2 x 2 a 4 = 1 a 2 + b 2 x 2 = a 4

Assim, x vale: x = a 2 a 2 + b 2 , x > 0 (representa distância).E y vale:

y = b 2 a 2 x = b 2 a 2 + b 2

Portanto, a resposta do nosso exercício é que o perímetro vale assim:

2 x = 2 a 2 a 2 + b 2 2 y = 2 a 2 a 2 + b 2 P = 4 x + 4 y P = 4 a 2 + 4 b 2 a 2 + b 2 P = 4 a 2 + b 2 .

Resposta

Resposta nos passos.

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Nos exercícios 57 a 61, determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:61) z = x 2 + y 2 + z 2 ; x + y + z = 9
Nos exercícios 57 a 61, determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da função dada, sujeita às restrições indicadas:58) z = 2 x + y ;x 2 + y 2 = 4