Extremos em uma circunferência Encontre os valores máximo e mínimo de x2 + y2 sujeitos à restrição x2 – 2x + y2 – 4y = 0.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, o nosso objetivo é encontrarmos os valores máximos e mínimos de x 2 + y 2 sujeito à restrição x 2 - 2 x + y 2 - 4 y = 0 . Acompanhe a resolução!

Passo 2

Calcularemos, primeiro, os gradientes das funções para aplicação do método de Lagrange, observe:

∇ f = 2 x i + 2 y j ∇ g = ( 2 x - 2 ) i + ( 2 y - 4 ) j

Agora, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos:

∇ f = λ ∇ g   = 2 x i + 2 y j = λ [ ( 2 x - 2 ) i + ( 2 y - 4 ) j ]

Separando as funções:

2 x = λ ( 2 x - 2 ) 2 y = λ ( 2 y - 4 )

Concluímos que:

x = λ λ - 1  e  y = 2 λ λ - 1 , λ ≠ 1 . 

Passo 3

Dessas funções, conseguimos observar que:

y = 2 x

Voltando o valor de y na restrição, temos que:

x 2 - 2 x + ( 2 x ) 2 - 4 ( 2 x ) = 0 . 

Logo, temos duas possibilidades:

x = 0 , y = 0  ou  x = 2 , y = 4 . 

Agora, calculando para os valores de x e y , encontramos: f ( 0,0 ) = 0 , é o valor mínimo assumido pela função. f ( 2,4 ) = 20 , é o valor máximo assumido pela função.Vimos, então, a resolução do nosso exercício!

Resposta

Resposta nos passos.

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