Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 13

Extremos em uma circunferência Encontre os valores máximo e mínimo de x2 + y2 sujeitos à restrição x2 – 2x + y2 – 4y = 0.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, o nosso objetivo é encontrarmos os valores máximos e mínimos de sujeito à restrição . Acompanhe a resolução!

Passo 2

Calcularemos, primeiro, os gradientes das funções para aplicação do método de Lagrange, observe:

Agora, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, temos:

Separando as funções:

Concluímos que:

Passo 3

Dessas funções, conseguimos observar que:

Voltando o valor de na restrição, temos que:

Logo, temos duas possibilidades:

Agora, calculando para os valores de e , encontramos:, é o valor mínimo assumido pela função., é o valor máximo assumido pela função.Vimos, então, a resolução do nosso exercício!

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar as dimensões do paralelepípedo de maior volume que pode ser inscrito no tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano x + 1 3 y + 1 2 z = 1 .

Determinar o ponto do plano 3 x + 2 y + 4 z = 12 para o qual a função: fx ,y ,z =x 2 + 4 y 2 + 5 z 2 tenha um valor mínimo.

A reta t é dada pela interseção dos planos x +y +z = 1 e 2 x + 3 y +z = 6 . Determinar o ponto de t cuja distância até a origem seja mínima.

Mostrar que o paralelepípedo retângulo de maior volume que pode ser colocado dentro de uma esfera tem a forma de um cubo.

Calcular as dimensões de um retângulo de área máxima inscrito numa semicircunferência de raio 2.