Soma de produtos Sejam a1, a2, ..., an números positivos. Encontre o máximo de π n

i = 1ai xi sujeito à restrição π in= 1xi2 = 1.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja a 1 , a 2 , … , a n números positivos. Neste exercício, encontraremos o máximo de ∑ i = 1 n   a i x i sujeito á constante ∑ i = 1 n   x i 2 = 1 . Acompanhe!

Passo 2

Seja f x 1 , x 2 , … , x 0 = ∑ i = 1 n   a i x i = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n e g x 1 , x 2 , … , x n = x 1 2 x 2 2 + … + x n 2 - 1 Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, teremos:

∇ f = λ ∇ g . 

As componentes separadas correspondem a:

a 1 = λ 2 x 1 a 2 = λ 2 x 2  com  λ ≠ 0 .   , … , a n = λ 2 x n

Agora, reescrevendo as componentes chegamos a:

x i = a i 2 λ a 1 2 4 λ 2 + a 2 2 4 λ 2 + … + a n 2 4 λ 2 = 1 .

Observamos que:

4 λ 2 = ∑ i = 1 n     a i 2 2 λ = ∑ i = 1 n     a 1 2 1 / 2

Portanto, a função então corresponde a:

f x 1 , x 2 , … , x n = ∑ i = 1 n     a i x i f x 1 , x 2 , … , x n = ∑ i = 1 n     a i a i 2 λ f x 1 , x 2 , … , x n = 1 2 λ ∑ i = 1 n     a 1 2 f x 1 , x 2 , … , x n = ∑ i = 1 n     a 1 2 1 / 2

Sendo este o seu máximo valor.

Resposta

Resposta nos passos.

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