Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 44

Soma de produtos Sejam a1, a2, ..., an números positivos. Encontre o máximo de π n

i = 1ai xi sujeito à restrição π in= 1xi2 = 1.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja a 1 , a 2 , … , a n números positivos. Neste exercício, encontraremos o máximo de ∑ i = 1 n   a i x i sujeito á constante ∑ i = 1 n   x i 2 = 1 . Acompanhe!

Passo 2

Seja f x 1 , x 2 , … , x 0 = ∑ i = 1 n   a i x i = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n e g x 1 , x 2 , … , x n = x 1 2 x 2 2 + … + x n 2 - 1 Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, teremos:

∇ f = λ ∇ g . 

As componentes separadas correspondem a:

a 1 = λ 2 x 1 a 2 = λ 2 x 2  com  λ ≠ 0 .   , … , a n = λ 2 x n

Agora, reescrevendo as componentes chegamos a:

x i = a i 2 λ a 1 2 4 λ 2 + a 2 2 4 λ 2 + … + a n 2 4 λ 2 = 1 .

Observamos que:

4 λ 2 = ∑ i = 1 n     a i 2 2 λ = ∑ i = 1 n     a 1 2 1 / 2

Portanto, a função então corresponde a:

f x 1 , x 2 , … , x n = ∑ i = 1 n     a i x i f x 1 , x 2 , … , x n = ∑ i = 1 n     a i a i 2 λ f x 1 , x 2 , … , x n = 1 2 λ ∑ i = 1 n     a 1 2 f x 1 , x 2 , … , x n = ∑ i = 1 n     a 1 2 1 / 2

Sendo este o seu máximo valor.

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a distância do ponto x 0 , y 0 à reta de equação a x + b y + c = 0 é dada por a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2 .
Encontre a menor distância do ponto ( x 0 , y 0 ) à reta de equação a x + b y + c = 0 é dada por | a x 0 + b y 0 + c | a 2 + b 2 .
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = 3 x - y - 3 z ;x + y - z = 0 , x 2 + 2 z 2 = 1
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita às restrições dadas f x , y = e x y ;x 3 + y 3 = 16
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =