Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 41
Ache os valores de máximo e mínimo da sujeita àsrestrições dadas. Utilize um sistema computacional algébrico para resolver o sistema de equações proveniente do uso dos multiplicadores de Lagrange. (Se seu CAS acha somente uma solução, você pode necessitar do uso de comandos adicionais).
Passo 1
Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.
Precisamos encontrar aqui os valores máximos e mínimos da função:
Dentro das restrições ed :
E:
Temos que
Então vamos calcular a igualdade com as restrições:
Então a gente tem uma adaptação dos multiplicadores de Lagrange, agora com duas restrições. Veja que os multiplicadores irão nos ajudar a encontrar valores de que serão posteriormente nas restrições, e assim poderemos encontrar seus valores numéricos.
Após isso, basta colocarmos esse valores na função, o ponto que nos de o maior valor de é o de máximo, e o ponto que nos der o menor valor é o de mínimo.
Veja que precisaremos calcular as derivadas parciais para encontrarmos os gradientes das funções.
O gradiente é dado por:
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas parciais, elas são encontradas derivando em relação a variável que a gente quer, e considerando todas as outras variáveis como constantes.
Derivando em relação a , veja que deveremos aplicar aqui a regra da cadeia:
Para não existe a necessidade da derivada pela regra da cadeia:
E por ultimo, vamos para :
Para:
Repetirmos o processo:
Para :
E por ultimo :
Agora vamos calcular as derivadas parciais para :
Derivando em relação a :
Em relação a :
E por ultimo, em relação a :
Passo 3
Isso implica que:
Então, igualando cada coordenada para satisfazermos a igualdade:
Em relação a :
E em relação a :
Temos as nossas duas restrições:
E
Passo 4
Usando um CAS para resolver esses 5 equações simultaneamente para , , , , e (no Maple, use o comando allvalues), obtemos 4 reais soluções valiosas:
Passo 5
Substituir esses valores em , temos que:
Assim, o máximo é aproximadamente e o mínimo é aproximadamente
Resposta
, o máximo é aproximadamente e o mínimo é aproximadamente