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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 16

Tanque de armazenamento mais barato Sua empresa foi

solicitada a projetar um tanque de armazenamento para gás

liquefeito de petróleo. As especificações do cliente exigem um

tanque cilíndrico com extremidades hemisféricas, e o tanque

deve ter capacidade para 8.000 m3 de gás. O cliente deseja

também utilizar a menor quantidade possível de material na fabricação do tanque. Qual raio e qual altura você recomenda

para a parte cilíndrica do tanque?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, imagine que a firma em que você trabalha recebeu um pedido para desenvolver um tanque para estocar gasolina líquida. O cliente pede um tanque cilíndrico cuja capacidade final seja de 8000   m 3 de gasolina. O cliente também deseja usar a menor quantidade de material possível na construção do tanque. Você sabe qual o raio e a altura que você recomenda para essa construção? Vamos encontrá-la?

Passo 2

Veja que a área superficial é dada pela função S = 4 π r 2 + 2 π r h . Já o volume do cilindro pode ser escrito pela restrição:

V ( r , h ) = 4 3 π r 3 + π r 2 h = 8000

Sendo assim, calcularemos os gradientes das funções para utilizarmos o método dos multiplicadores de Lagrange, prossiga:

∇ S = ( 8 π r + 2 π h ) i + 2 π r j ∇ V = 4 π r 2 + 2 π r h i + π r 2 j

Passo 3

Aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, teremos:

∇ S = λ ∇ V ∇ S = ( 8 π r + 2 π h ) i + 2 π r j = λ 4 π r 2 + 2 π r h i + π r 2 j

Aqui, vamos separar as componentes, e chegaremos a:

8 π r + 2 π h = λ 4 π r 2 + 2 π r h 2 π r = λ π r 2

Logo, temos duas possibilidades: r = 0,2 = r λ . Como r ≠ 0 , temos que 2 = r λ .Para 2 = r λ nossos dados são:

λ = 2 r . 

Passo 4

Assim, temos que:

4 r + h = 2 r 2 r 2 + r h h = 0  (logo o formato é o de uma esfera!). 

Assim, a resposta do nosso exercício é que o raio é dado por:

4 3 π r 3 = 8000 r = 10 6 π 1 / 3

Resposta

Resposta nos passos.

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