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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 34

Minimize a função ƒ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 sujeita às restrições

x + 2y + 3z = 6 e x + 3y + 9z = 9.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, minimizaremos a função f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 sujeito às restrições x + 2 y + 3 z = 6 e x + 3 y + 9 z = 9 . Acompanhe!

Passo 2

Começaremos reescrevendo as restrições da seguinte forma:

g 1 ( x , y , z ) = x + 2 y + 3 z - 6 = 0 g 2 ( x , y , z ) = x + 3 y + 9 z - 9 = 0

Passo 3

Encontraremos, agora, os gradientes das funções para aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange:

∇ g 1 = i + 2 j + 3 k ∇ g 2 = i + 3 j + 9 k ∇ f = 2 x i + 2 y j + 2 z k

Aqui, aplicaremos o método dos multiplicadores de Lagrange, e obteremos:

∇ f = λ ∇ g 1 + μ ∇ g 2 2 x i + 2 y j + 2 z k = λ ( i + 2 j + 3 k ) + μ ( i + 3 j + 9 k )

Já separando as componentes:

2 x = λ + μ 2 y = 2 λ + 3 μ 2 z = 3 λ + 9 μ

Passo 4

Aplicando os valores encontrados em x + 2 y + 3 z - 6 = 0 , teremos:

0 = x + 2 y + 3 z - 6 0 = 1 2 ( λ + μ ) + ( 2 λ + 3 μ ) + 9 2 λ + 27 2 μ - 6 7 λ + 17 μ = 6 .

Outra vez, aplicando os mesmos valores em 0 = x + 3 y + 9 z - 9 , teremos também que:

1 2 ( λ + μ ) + 3 λ + 9 2 μ + 27 2 λ + 81 2 μ - 9 = 0 34 λ + 91 μ = 18

Observe agora com as equações 7 λ + 17 μ = 6 e 34 λ + 91 μ = 18 , encontramos que:

λ = 240 59 μ = - 78 59

Assim, x , y e z valem:

x = λ + μ 2 = 81 59 y = 2 λ + 3 μ 2 = 123 59 z = 3 λ + 9 μ 2 = 9 59

Resposta

Portanto, o valor mínimo da função com restrição é f 81 59 , 123 59 , 9 59 = 21,771 59 2 = 369 59 .

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