Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 43
a. Máximo em uma esfera Mostre que o valor máximo de
a2b2c2 em uma esfera de raio r centrado na origem de um
sistema de coordenadas cartesianas abc é (r2/3)3.
b. Médias geométrica e aritmética Utilizando o item (a),
mostre que, para números não negativos a, b e c,
sabcd1>3 … a + b + c
3 ;
ou seja, a média geométrica de três números não negativos
é menor ou igual à sua média aritmética.
Passo 1
Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊
(a) Neste exercício, mostraremos que o valor máximo de em uma esfera de raior centrada na origem do plano cartesiano é .(b) Neste exercício, mostraremos que .
Passo 2
(a)Para maximizar , sujeito a , começaremos encontrando os gradientes das funções:
Passo 3
Agora, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange, teremos:
Passo 4
Das equações, observamos que:
que nos leva a concluir que ou .Caso 1: Se , então .Caso 2: se , então:
Passo 5
Levando a:
Temos como resposta: é o valor máximo.
Passo 6
(b)ponto está sobre a esfera . Da primeira parte, sabemos que , reescrevendo, veremos que:
Resposta
Resposta nos passos.