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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.8 - Ex. 42

Plano de mínimos quadrados O plano z = Ax + By + C será

“ajustado” aos seguintes pontos (xk, yk, zk):

( 0,0 , 0 ) ,   ( 0,1 , 1 )   ( 1,1 , 1 ) ,   ( 1,0 , - 1 ) .

Encontre os valores de A , B e C que minimizam

∑ k = 1 4   A x k + B y k + C - z k 2 ,

a soma dos quadrados dos desvios.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O plano z = A x + B y + C z sofrerá regressão linear em relação aos seguintes pontos x k , y k , z k ( 0,0 , 0 ) , ( 0,1 , 1 ) , ( 1,1 , 1 ) , ( 1,0 , - 1 ) Neste exercício, encontraremos então os valores de A , B e C que minimizam

∑ k = 1 4   A x k + B y k + C - z k 2

Passo 2

Seja f = ( A , B , C ) = ∑ k = 1 4   A x k + B y k + C - z k 2 , então:

f = ( A , B , C ) = ∑ i = 1 4     A x k + B y k + C - z k 2 f = ( A , B , C ) = C 2 + ( B + C - 1 ) 2 + ( A + B + C - 1 ) 2 + ( A + C + 1 ) 2

Passo 3

Veja que as derivadas parciais são:

f A ( A , B , C ) = 4 A + 2 B + 4 C f b ( A , B , C ) = 2 A + 4 B + 4 C - 4 f c ( A , B , C ) = 4 A + 4 B + 8 C - 2

Fazendo as derivadas iguais a zero para minimizar, teremos:

0 = 4 A + 2 B + 4 C 0 = 2 A + 4 B + 4 C - 4 0 = 4 A + 4 B + 8 C - 2

Passo 4

Multiplicando a segunda equação por - 2 e somando na terceira, temos:

0 = - 4 A - 8 B - 8 C + 8 0 = 4 A + 4 B + 8 C - 2 0 = 0 A - 4 B + 0 C + 6 B = 3 2

Passo 5

Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:

0 = 4 A + 2 B + 4 C 0 = 2 A + 4 B + 4 C - 4

0 = 2 A - 2 B + 0 C + 4 , usando o valor de B = 3 2 temos:

0 = 2 A - 2 3 2 + 0 C + 4 0 = 2 A - 3 + 4 A = - 1 2

Com A = - 1 2 e B = 3 2 , encontramos C = - 1 4 (substituição direta).

Resposta

Portanto, o ponto crítico que minimiza fé - 1 2 , 3 2 , - 1 4 .

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