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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 28

  1. Ache um vetor ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q e R e b) calcule a área do triângulo PQR.

P 2,0 , - 3

Q 3,1 , 0

R 5,2 , 2

Passo 1

Para calcularmos tanto a área do triângulo PQR quanto achar o vetor ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q e R, vamos precisar de dois vetores.

Estes vetores são: PQ e PR. Com estes dois vetores, poderemos determinar as duas informações que a questão nos pede. Portanto, vamos começar determinando-os!

P Q = Q - P

P Q = 3,1 , 0 - 2,0 , - 3

P Q = 1,1 , 3

Já para o vetor PR, temos:

P R = R - P

P R = 5,2 , 2 - 2,0 , - 3

P R = 3,2 , 5

Passo 2

Agora que determinamos os vetores PQ e PR, podemos encontrar um vetor ortogonal a ambos ao mesmo tempo. Este vetor será o vetor ortogonal ao plano que contém P, Q e R. Por definição, este vetor ortogonal a ambos pode ser obtido através do produto vetorial deles!

Sendo assim, vamos fazer o produto vetorial P Q × P R . Logo,

P Q × P R = i j k 1 1 3 3 2 5

P Q × P R = 1 ⋅ 5 - 2 ⋅ 3 i + 3 ⋅ 3 - 5 ⋅ 1 j + 1 ⋅ 2 - 3 ⋅ 1 k

P Q × P R = 5 - 6 i + 9 - 5 j + 2 - 3 k

P Q × P R = - i + 4 j - k

Pronto! O vetor ortogonal ao plano é - 1,4 , - 1 !

Passo 3

Já para calcularmos a área do triângulo PQR, basta lembrar que a mesma é dada por:

Á r e a = P Q × P R 2

Portanto, vamos começar calculando a norma do produto vetorial.

P Q × P R = - 1 2 + 4 2 + - 1 2

P Q × P R = 18 = 3 2

Sendo assim, a área do triângulo é:

Á r e a = 3 2 2

Resposta

n = P Q × P R = - 1,4 , - 1

Á r e a = 3 2 2

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