Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 34
Use o produto misto para determinar se os pontos , , e pertencem ao mesmo plano.
Passo 1
Antes de começarmos a discutir o que deve acontecer com o produto misto para que todos os pontos sejam coplanares ou não, precisamos determinar alguns vetores.
Estes vetores serão , e . Todos eles partindo do mesmo ponto . Vamos determinar um por vez agora. Começando pelo vetor , temos
Já para o vetor , temos:
Por fim, o vetor será dado por:
Passo 2
Pronto, agora que conseguimos determinar cada um desses vetores, podemos fazer o produto misto entre eles. Se os 4 pontos pertencerem a um mesmo plano, significa dizer que estes 3 vetores também são coplanares, e consequentemente, seu produto misto é nulo!
Portanto, vamos calcular o produto misto entre esses 3 vetores.
Como o produto misto é zero, os vetores são coplanares e os pontos também são!
Resposta
Os pontos são coplanares, pois .