Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 39 em torno do eixo x.
Passo 1
Bom, o Exercício 39 nos deu a região limitada pela curva e pelo eixo x de a . Vamos esboçar em um gráfico para facilitar a visualização da região:
Como iremos rotacionar essa região em torno do eixo x, vamos utilizar a equação do volume pelo método dos discos:
Passo 2
Substituindo os limites de integração e a função pela curva y, nossa integral passa a ser:
Passo 3
Agora resolvendo a integral, podemos reescrevê-la como:
Pela relação trigonométrica:
Ficamos com:
Abrindo a potência:
Usando outra identidade:
Ficamos com:
Integrando cada termo: