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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 41

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 39 em torno do eixo x.

Passo 1

Bom, o Exercício 39 nos deu a região limitada pela curva y = s e n 2 x e pelo eixo x de x = 0   a x = π . Vamos esboçar em um gráfico para facilitar a visualização da região:

Como iremos rotacionar essa região em torno do eixo x, vamos utilizar a equação do volume pelo método dos discos:

V = π ∫ a b f x 2 d x

Passo 2

Substituindo os limites de integração e a função f x pela curva y, nossa integral passa a ser:

V = π ∫ 0 π s e n 4 x d x

Passo 3

Agora resolvendo a integral, podemos reescrevê-la como:

V = π ∫ 0 π s e n 2 x s e n 2 x d x

Pela relação trigonométrica:

s e n 2 x = 1 - c o s 2 x 2

Ficamos com:

V = π ∫ 0 π 1 - c o s 2 x 2 2 d x

Abrindo a potência:

V = π 4 ∫ 0 π 1 - 2 c o s 2 x + c o s 2 2 x d x

Usando outra identidade:

c o s 2 x = 1 + c o s 2 x 2

Ficamos com:

V = π 4 ∫ 0 π 1 - 2 c o s 2 x + 1 + c o s 4 x 2 d x

Integrando cada termo:

V = π 4 3 2 x - s e n 2 x + s e n 4 x 8 π 0

V = 3 π 2 8

Resposta

V = 3 π 2 8

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