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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 15

Ache (d y)/(d x)

Passo 1

Sabendo que y = sec e^(2 x) + e^(2 sec x) ,

(d y)/(d x) será:

(d)/(d x) (sec e^(2 x) + e^(2 sec x))

Nessa questão podemos dividir a derivada em duas pela regra da soma, vamos chama-las de g ' e h ' :

g^' = (d)/(d x) sec e^(2 x)

h^' = (d)/(d x) e^(2 sec x)

Passo 2

Resolvendo g’:

g^' = (d)/(d x) sec e^(2 x)

Precisaremos usar a regra da cadeia (d f ( u ))/(d x) = (d f)/(d u) * (d u)/(d x) :

Onde:

f = sec (u)

u = e^(2 x)

E suas derivadas serão:

(d)/(d u) (sec (u)) = sec (u) tan (u)

(d)/(d x) ( e^(2 x) ) = 2 e^(2 x)

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:

= sec (u) tan (u) e^(2 x) * 2

Substituindo u:

g ' = sec (e^(2 x)) tan (e^(2 x)) e^(2 x) * 2

Passo 4

Agora resolveremos h ' :

h^' = (d)/(d x) e^(2 sec x)

Vamos usar a regra da cadeia:

f = e^u

u = 2 sec (x)

Suas derivadas serão:

(d)/(d u) (e^u) = e^u

(d)/(d x) ( 2 s e c ( x ) ) = 2 s e c ( x ) t a n ( x )

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:

= e^u * 2 sec (x) tan (x)

Substituindo u:

h^' = e^(2 s e c ( x )) * 2 s e c ( x ) t a n ( x )

E finalmente para achar a derivada que queremos somamos g ' e h ' :

= s e c ( e^(2 x) ) t a n ( e^(2 x) ) e^(2 x) * 2 + e^(2 s e c ( x )) * 2 s e c ( x ) t a n ( x )

Resposta

(d y)/(d x) = s e c ( e^(2 x) ) t a n ( e^(2 x) ) e^(2 x) * 2 + e^(2 s e c ( x )) * 2 s e c ( x ) t a n ( x )

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