Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 39 em torno da reta y = 1 .

Passo 1

Bom, o Exercício 39 nos deu a região limitada pela curva y = s e n 2 x e pelo eixo x de x = 0   a x = π . Para termos uma noção melhor da região vamos usar a imagem:

Como queremos rotacionar em torno de uma reta horizontal, podemos usar a equação de volume pelo método dos discos:

V = π ∫ a b f x 2 d x

Passo 2

Nossa f x será escrita como a diferença entre o eixo onde iremos fazer a rotação e a curva que limita a região:

f x = 1 - s e n 2 x

E os limites de integração serão x = 0 e x = π a equação do volume então ficará:

V = π ∫ 0 π 1 - s e n 2 x 2 d x

Passo 3

Agora precisamos resolver a integral, primeiro vamos resolver a potência:

V = π ∫ 0 π 1 - 2 s e n 2 x + s e n 4 x d x

Usando a identidade trigonométrica:

s e n 2 x = 1 - c o s 2 x 2

A integral fica:

V = π ∫ 0 π c o s 2 x + 1 - c o s 2 x 2 2 d x

Resolvendo a potência:

V = π ∫ 0 π c o s 2 x + 1 2 - c o s 2 x + c o s 2 2 x 2 d x

Fazendo a subtração e colocando 1 / 2 em evidência:

V = π 2 ∫ 0 π 1 + c o s 2 2 x d x

Usando a identidade:

c o s 2 x = 1 + c o s 2 x 2

A integral se escreve:

V = π 2 ∫ 0 π 1 + 1 + c o s 4 x 2 d x

Integrando termo a termo:

V = π 2 3 x 2 + s e n 4 x 8 π 0

V = 3 π 2 4

Resposta

V = 3 π 2 4

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