Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

x^2 ≤ y ≤ x

Passo 1

Esse problema inicialmente terá que ter um mecanismo um pouco diferente, pois você já deve ter notado que normalmente é dado o intervalo de integração.

De alguma forma, vamos achar esse intervalo e você verá como faremos isso!

Faremos separadamente os gráficos de cada membro da desigualdade, ou seja:

x 2 ≤ y

y ≤ x

E agora a interseção entre esses dois gráficos, que estará representado de Verde!

Passo 2

Agora vem a parte de analisar os gráficos para conseguirmos extrair informações importantes:

Lembra que temos que achar o intervalo de integração né?

Iremos fazer igualando as duas funções e as raízes dessa equação serão os intervalos:

x 2 = x

Raízes 0   e   1 , entãooo nosso primeiro problema já foi concluído, sabemos os intervalos e de forma bem tranquila!

Para calcularmos o volume, faremos o volume da curva y ≤ x menos o volume da curva x 2 ≤ y , nos limites já explicados no parágrafo anterior, primeiro uma colher de chá, caso você não lembre a fórmula:

V = π ∫ f 2 ( x ) d x  

Passo 3

Agora focaremos em resolver essas integrais. Vamos lá que nisso, vocês são craques!!!

V 1   ( y = x ; y 2 = x 2 ) :

π ∫ 0 1 x 2 d x = π x 3 3 1 0   = π 3

V 2 ( y = x 2 ; y 2 = x 4 ):

π ∫ 0 1 x 4 d x = π x 5 5 1 0 = π 5

Finalmente, conseguiremos chegar aquilo em que tanto queríamos, não é a sua formatura, mas pode ficar feliz com essa conquista!!

V = V 1 - V 2 = π 3 - π 5 = 2 π 15

Resposta

V = 2 π 15

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