Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = 3 x - x 3 , pelo eixo x e pela reta x = 1 .

Passo 1

A imagem abaixo mostra a região que iremos precisar integrar e aplicar a rotação:

A linha vermelha mostra a parte da curva y = 3 x - x 3 limitada pela linha roxa, que é a reta x = 1 . Aplicaremos então a equação do volume por invólucro cilíndrico:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Como a rotação é em torno do eixo y, não precisaremos adaptar o que há dentro da integral para fazermos a rotação. Então basta substituir a curva y no lugar de f(x). Os limites de integração serão x = 0 até a reta x = 1 .

Ficaremos então com:

V = 2 π ∫ 0 1 x 3 x - x 3 d x

Passo 3

Resolvendo a integral:

V = 2 π ∫ 0 1 3 x 2 - x 4 d x

V = 2 π x 3 - 1 5 x 5 1 0 = 8 π 5

Resposta

V = 8 π 5

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