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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.2 - Ex. 35

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por aquela reta e pela parábola x 2 = 4 y em torno da reta y = 1 . Tome os elementos retangulares de área paralelos ao eixo de revolução.

Passo 1

Vamos utilizar a imagem abaixo para facilitar a visualização da região limitada:

A reta horizontal preta é o eixo que iremos usar como rotação. Usaremos a equação do volume por invólucro cilíndrico:

V = 2 π ∫ a b x f x d x

Passo 2

Como o enunciado nos pede para tomar elementos retangulares de área horizontais, nossa integral será escrita em termos de y. como o eixo está deslocado em relação à origem, substituiremos o x na equação por 1 - y . E usaremos apenas o lado direito da região no desenho, porque ela é simétrica em relação ao eixo y.Nossa integral então ficará:

V = 2 π ∫ a b 1 - y 4 y 1 2 d y

Os limites de integração serão os valores de y onde a curva limita, y = 0 e onde a reta preta limita, y = 1 , ficaremos com:

V = 2 π ∫ 0 1 1 - y 4 y 1 2 d y

Passo 3

Agora vamos resolver a integral, primeiro vamos reescrever o integrando:

V = 4 π ∫ 0 1 1 - y y 1 2 d y

V = 4 π ∫ 0 1 y 1 2 - y 3 2 d y

Integrando cada termo:

V = 4 π 2 3 y 3 2 - 2 5 y 5 2 1 0

Substituindo os limites de integração:

V = 4 π 2 3 - 2 5 = 16 15 π

E então multiplicaremos por 2 para obtermos o volume de toda a região:

V = 32 15 π

Resposta

V = 32 15 π

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