Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 28
A região limitada pela curva , pela reta e pelo eixo é gira em torno do eixo . Ache o volume do sólido gerado.
Passo 1
Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:
A região é entre a curva verde e a laranja. Limitada no final por até começa no ponto onde a tangente é .
Precisamos descobrir esse ponto:
Como estamos pegando valores antes da reta vermelha, que é , vamos ter que
Entao teremos, até . Onde o raio do disco vai ser a própria função verde:
O volume vai ser:
Passo 2
Vamos resolver essa integral:
Primeiro, vamos ver a integral indefinida:
Aqui, vamos usar a relação fundamental da trigonometria:
A integral vai ficar:
Passo 3
Voltando para a nossa integral definida:
Lembrando que
Vamos ter:
Resposta
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Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = sec 2 x , pelos eixo𝑠 e pelas reta x = 1 4 π em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = 3 csc 3 x pelo eixo x e pelas reta x = 1 6 π e x = 1 2 π em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 39 em torno do eixo x.
A região no primeiro quadrante limitado pela curva y = c o s x e pelas retas y = 1 e x = π 2 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.
A região limitada pelo eixo y e pelas curvas y = s e n x e y = c o s x para 0 ≤ x ≤ π 4 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido de revolução gerado.