A região limitada pela curva y = tg(x) , pela reta x = pi / 3 e pelo eixo x é gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.

Passo 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja. Limitada no final por π 3 até começa no ponto onde a tangente é 0 .

Precisamos descobrir esse ponto:

tg ⁡ x = 0 → sen ⁡ x cos ⁡ x = 0

sen ⁡ x = 0

Como estamos pegando valores antes da reta vermelha, que é π 3 , vamos ter que

x = 0

Entao teremos, x = 0 até x = π 3 . Onde o raio do disco vai ser a própria função verde:

r x = tg ⁡ x

O volume vai ser:

V = ∫ 0 π 3 π tg ⁡ x 2 d x

V = ∫ 0 π 3 π tg 2 ⁡ x d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 π 3 π tg 2 ⁡ x d x

V = π ∫ 0 π 3 tg 2 ⁡ x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ tg 2 ⁡ x d x

Aqui, vamos usar a relação fundamental da trigonometria:

tg 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

A integral vai ficar:

∫ tg 2 ⁡ x d x = ∫ sec 2 ⁡ x - 1 d x = tg ⁡ x - x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 π 3 tg 2 ⁡ x d x = π tg ⁡ x - x 0 π 3 =

π tg ⁡ π 3 - π 3 - π tg ⁡ 0 - 0

Lembrando que

π 3 = 6 0 °

Vamos ter:

tg ⁡ π 3 = 3

π 3 - π 3

π 3 - π 3

Resposta

π 3 - π 3

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Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva x = raiz(cosy) , a reta y = 1 / 6 * pi e eixo y
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = sec^2(x) , pelos eixo𝑠 e pelas reta x = 1 / 4 * pi em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = 3 * csc^3(x) pelo eixo x e pelas reta x = 1 / 6 * pi e x = 1 / 2 * pi em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 39 em torno do eixo x.
A região no primeiro quadrante limitado pela curva y = cos(x) e pelas retas y = 1 e x = pi / 2 gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.