Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 4

Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = x 2 + 1 , pelo eixo x e pelas retas x = 2 e x = 3 é rotacionada em torno do eixo x .

Passo 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja. Limitada pelas retas azul e vermelha.

Entao a região vai de x = 2 até x = 3 . Onde o raio do disco vai ser a própria função verde:

r x = x 2 + 1

O volume vai ser:

V = ∫ 2 3 π x 2 + 1 2 d x

V = ∫ 2 3 π x 4 + 2 x 2 + 1 d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 2 3 π x 4 + 2 x 2 + 1 d x

V = π ∫ 2 3 x 4 + 2 x 2 + 1 d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ x 4 + 2 x 2 + 1 d x = x 5 5 + 2 x 3 3 + x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = ∫ 2 3 π x 4 + 2 x 2 + 1 d x = π x 5 5 + 2 x 3 3 + x 2 3 =

π 3 5 5 + 2 3 3 3 + 3 - π 2 5 5 + 2 2 3 3 + 2 =

π 243 5 + 54 3 + 3 - 32 5 - 16 3 - 2

π 211 5 + 38 3 + 1

π 633 + 190 + 15 15

838 π 15

Resposta

838 π 15

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos y = 1 + sec ⁡ x ,y = 3 ;
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos. y = 1 4 x 2 , x = 2 ,y
Veja a figura e encontre o volume gerado pela rotação da região ao redor da reta dada. R 1e mt o r n od eB C
Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada. y = x - 2 4 ,8 x - y = 16 ; e mt o r n od oe i x
Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada. y = c o sx ,y = 2 - cos ⁡ x ,0 ≤ x ≤ 2 π ; e mt