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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.3 - Ex. 19

Nos Exercícios de 1 a 30, calcule a integral indefinida.

19 )   ∫ tg ⁡ 2 x + c o t g   2 x 2 . d x  

Passo 1

Para começarmos a resolver a integral devemos primeiro abri-la:

∫ tg ² ⁡ 2 x + 2 . tg ⁡ 2 x . c o t g   2 x + c o t g ²   2 x . d x

∫ tg ² ⁡ 2 x . d x + 2 ∫ tg ⁡ 2 x . c o t g   2 x . d x + ∫ c o t g ²   2 x . d x

Agora vamos resolver cada uma delas separadamente. Primeiro:

∫ tg ² ⁡ 2 x . d x

Chamamos

u = 2 x

d u = 2 . d x  

d u 2 = d x

∫ tg ² ⁡ 2 x . d x = ∫ tg 2 ⁡ u . d u 2 = 1 2 ∫ tg 2 ⁡ u . d u

Usamos a identidade:

t g ² u = s e c ² u - 1

1 2 ∫ tg 2 ⁡ u . d u = 1 2 ∫ s e c ² u - 1 . d u = 1 2 ∫ s e c ² u . d u - ∫ d u

1 2 ∫ s e c ² u . d u - ∫ d u = 1 2 t g   u - u

Substituindo o valor de u:

∫ tg ² ⁡ 2 x . d x = t g   2 x 2 - x

Passo 2

A próxima integral será:

2 ∫ tg ⁡ 2 x . c o t g   2 x . d x

Substituindo as identidades:

tg ⁡ 2 x = s e n   2 x cos ⁡ 2 x

cotg ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x

2 ∫ tg ⁡ 2 x . c o t g   2 x . d x = 2 ∫ s e n   2 x cos ⁡ 2 x . cos ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x . d x = 2 ∫ d x = 2 x

Passo 3

Para a última integral:

∫ c o t g ²   2 x . d x

Chamamos

u = 2 x

d u = 2 . d x  

d u 2 = d x

∫ c o t g ²   2 x . d x = 1 2 ∫ c o t g ²   u . d u

Lembrando que

c o t g ² u = c o s e c ² u - 1

1 2 ∫ c o t g ²   u . d u = 1 2 ∫ c o s e c ² u - 1 . d u = 1 2 ∫ c o s e c 2 u . d u - ∫ d u = 1 2 - c o t g   u - u

Substituindo u

∫ c o t g ²   2 x . d x = - c o t g   2 x 2 - x

Somando todas as integrais para achar a nossa solução:

∫ tg ² ⁡ 2 x . d x + 2 ∫ tg ⁡ 2 x . c o t g   2 x . d x + ∫ c o t g ²   2 x . d x = t g   2 x 2 - x + 2 x - c o t g   2 x 2 - x + C = t g   2 x 2 - c o t g   2 x 2 + C

Resposta

∫ tg ⁡ 2 x + c o t g   2 x 2 . d x   = t g   2 x 2 - c o t g   2 x 2 + C

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