Escreva, mas não calcule, uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.

y = cos x, y = 2 - cos(x), 0 ≤ x ≤ 2π; ementa: y = 4

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a integral que nos dá o volume do sólido gerado por rotação em relação ao eixo especificado, mas pelo enunciado não iremos calcular esse volume.

Para calcular essa integral, temos que fazer

V = ∫ a b A x d x  

Veja só!

Passo 2

Nosso intervalo de integração já foi dado, portanto não precisamos encontrar pontos de interseção.

Como as funções são y = c o s   x e y = 2 - cos ⁡ x , iremos escrever nossa integral em função de x

A x = π 4 - cos ⁡ x 2 - 4 - 2 - cos ⁡ x 2

Dessa forma, temos

V = ∫ 0 2 π π 4 - cos ⁡ x 2 - 4 - 2 - cos ⁡ x 2 d x

V = ∫ 0 2 π π 16 - 8 cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x - 4 + 4 cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x d x

V = ∫ 0 2 π π 1 2 - 4 cos ⁡ x d x

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

V = ∫ 0 2 π π 12 - 4 cos ⁡ x d x

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