Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 16

Ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno da reta indicada, da região limitada pela curva y = x , pelo eixo x e pela reta x = 4

Ao redor da reta y = 2

Passo 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja.

Entao a região vai de x = 0 até x = 4 .

O raio é a distância do eixo de rotação até as duas funções.

Da vermelha para a laranja, vamos ter:

r 1 x = 2 - 0

Da vermelha para a verde, vamos ter:

r 2 x = 2 - x

O volume vai ser a subtração dos dois volumes, do feito pela curva laranja menos o feito pela curva verde.

V = V 1 - V 2

V 1 = ∫ 0 4 π 2 2 d x = ∫ 0 4 4 π d x

V 2 = ∫ 0 4 π 2 - x 2 d x = ∫ 0 4 π 4 - 4 x + x 2 d x

Como o intervalo é positivo, vamos ter que

x 2 = x

Assim:

V 2 = ∫ 0 4 π 4 - 4 x + x d x

Passo 2

Vamos resolver essas integral:

V 1 = ∫ 0 4 4 π d x = 4 π ∫ 0 4 d x = 4 π x 0 4 = 4 π 4 - 0 = 16 π

Passo 3

Vamos para a o outro volume:

V 2 = ∫ 0 4 π 4 - 4 x + x d x

V 2 = π ∫ 0 4 4 - 4 x + x d x

Primeiro, vamos fazer:

∫ 4 - 4 x + x d x = ∫ 4 - 4 x 1 2 + x d x = 4 x - 4 x 3 2 3 2 + x 2 2 + C =

4 x - 8 3 x 3 2 + x 2 2 + C

Voltando para a nossa integral definida:

V 2 = π ∫ 0 4 4 - 4 x + x d x = π 4 x - 8 3 x 3 2 + x 2 2 0 4 =

π 4 . 4 - 8 3 4 3 2 + 4 2 2 - π 4 . 0 - 8 3 0 3 2 + 0 2 2

Lembrando que:

4 3 2 = 4 3 = 2 3 = 8

Voltando para as contas:

π 16 - 64 3 + 8 =

8 π 3

Passo 4

Nosso volume vai ficar:

V = V 1 - V 2 = 16 π - 8 π 3 = 40 π 3

Resposta

40 π 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = cosec ⁡ x , pelo eixo x , e pelas retas x = π 6 e x = π 3 em torno do eixo x .
A região limitada pela curva y = tg ⁡ x , pela reta x = π 3 e pelo eixo x é gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por um arco da curva do seno em torno do eixo x .
A região limitada pela curva y = sec ⁡ x , pelo eixo x , pelo eixo y e pela reta x = π 4 gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
A região limitada pelo eixo y e pelas curvas y = sen ⁡ x e y = cos ⁡ x para 0 ≤ x ≤ π 4 é girada em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.