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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.8 - Ex. 20

Calcule a integral definida e expresse a resposta em termos de um logaritmo natural.

∫ 1 2 1 x 2 + 2 x   d x

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a integral definida e expressar a resposta em termos de um logaritmo natural. Note que essa é uma clássica integral que pode ser resolvida usando alguma substituição trigonométrica. Todavia, a ideia do capítulo é que você use fórmulas prontas para calcular as integrais. Essas fórmulas prontas estão no teorema 9.8.4 desta seção do livro.

Mas antes de irmos atrás de uma fórmula para resolver a integral, vamos brincar um pouco com ela completando quadrados:

x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = x + 1 2 - 1

Assim,

I = ∫ 1 2 1 x 2 + 2 x   d x = ∫ 1 2 1 x + 1 2 - 1   d x

Fazendo a mudança de variáveis u = x + 1 , temos que d u = d x . Além disso, para x = 1 ⇒ u = 2 e para x = 2 ⇒ u = 3 :

I = ∫ 2 3 1 u 2 - 1   d u

Passo 2

No teorema 9.8.4 tem a fórmula necessária para resolver essa integral:

∫ 1 u 2 - a 2   d u = ln ⁡ u + u 2 - a 2 + C

Portanto, com a = 1 :

I = ∫ 2 3 1 u 2 - 1   d u = ln ⁡ u + u 2 - 1 2 3

Logo,

I = ln ⁡ 3 + 8 - ln ⁡ 2 + 3 = ln ⁡ 3 + 2 2 2 + 3

Resposta

ln ⁡ 3 + 2 2 2 + 3

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