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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 23

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por um arco da curva do seno em torno do eixo x .

Passo 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja. Para descobrir o intervalo que devemos fazer a nossa integral, devemos resolver a seguinte equação:

sen ⁡ x = 0

OS primeiros valores que tem seno sendo 0 são:

x = 0       e       x = π

Entao teremos, x = 0 até x = π . Onde o raio do disco vai ser a própria função verde:

r x = sen ⁡ x

O volume vai ser:

V = ∫ 0 π π sen ⁡ x 2 d x

V = ∫ 0 π π sen 2 ⁡ x d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ 0 π π sen 2 ⁡ x d x

V = π ∫ 0 π sen 2 ⁡ x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ sen 2 ⁡ x d x

Para isso, vamos usar que:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Colocando essa expressão na integral:

∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x = ∫ 1 2 - cos ⁡ 2 x 2 d x = x 2 - sen ⁡ 2 x 4 + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ 0 π sen 2 ⁡ x d x = π x 2 - sen ⁡ 2 x 4 0 π =

π π 2 - sen ⁡ 2 π 4 - π 0 2 - sen ⁡ 0 4 =

π 2 2

Resposta

π 2 2

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região do Exercício 39 em torno da reta y = 1 .
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = e - x y = 0 x = 0 x = 1
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = 9 - x 2 y = 0
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = sec ⁡ x y = 0 x = - π 4 x = π 4
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x y = e x - 1 y = 0 x = 1 x = 3