Ache o comprimento do arco da curva y = (1/3) * raiz(x) * (3x - 1) do ponto onde x = 1 ao ponto onde x = 4 .

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva y = 1 3 x ( 3 x - 1 ) de x = 1 até x = 4 . Para isso vamos usar a expressão:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Antes de derivar y , vamos reescrever a função:

y = x 3 / 2 - 1 3 x 1 / 2

Agora sim vamos derivar:

y ' = 3 2 x 1 2 - 1 6 x - 1 2 = 3 2 x - 1 6 x

Assim,

1 + y ' 2 = 1 + 9 4 x - 2 ⋅ 3 2 ⋅ 1 6 + 1 36 x = 9 4 x + 1 2 + 1 36 x = 3 2 x + 1 6 x 2

Portanto,

1 + y ' 2 = 3 2 x + 1 6 x

Desta forma, basta calcularmos a integral:

L = ∫ 1 4 3 2 x + 1 6 x   d x

Passo 2

Vimos que o comprimento é dado pela integral

L = ∫ 1 4 3 2 x 1 2 + 1 6 x - 1 2   d x

Portanto,

L = 3 2 ⋅ 2 3 x 3 2 + 1 6 ⋅ 2 x 1 2 1 4 = x 3 + 1 3 x 1 4

Desta forma,

L = 2 3 + 1 3 ⋅ 2 - 1 - 1 3 = 8 + 2 3 - 1 - 1 3 = 7 + 1 3 = 22 3

Resposta

22 3

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