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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 22

Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela curva y = cosec ⁡ x , pelo eixo x , e pelas retas x = π 6 e x = π 3 em torno do eixo x .

Passo 1

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a laranja, limitadas pelas retas azul e vermelha

Entao teremos, x = π 6 até x = π 3 . Onde o raio do disco vai ser a própria função verde:

r x = cosec ⁡ x

O volume vai ser:

V = ∫ π 6 π 3 π cosec ⁡ x 2 d x

V = ∫ π 6 π 3 π cosec 2 ⁡ x d x

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ π 6 π 3 π cosec 2 ⁡ x d x

V = π ∫ π 6 π 3 cosec 2 ⁡ x d x

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ cosec 2 ⁡ x d x = - cotg ⁡ x + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ π 6 π 3 cosec 2 ⁡ x d x = π - cotg ⁡ x π 6 π 3 =

π - cotg ⁡ π 3 - π - cotg ⁡ π 6

Lembrando que

π 6 = 30 °

π 3 = 60 °

Vamos ter:

tg ⁡ π 3 = 3

tg ⁡ π 6 = 3 3

Dessa forma:

π - cotg ⁡ π 3 - π - cotg ⁡ π 6 = π - 1 3 - π - 1 3 3

- π 3 + 3 π 3

2 π 3

Resposta

2 π 3

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A região limitada pelo eixo y e pelas curvas y = sen ⁡ x e y = cos ⁡ x para 0 ≤ x ≤ π 4 é girada em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
Ache o volume do sólido gerado pela rotação de um arco da senóide em torno do eixo x .
Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = s e n x , a reta x= 1 2 π e eixo x.
Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva x = y ² ² e x = y 4 , no primeiro quadrante
Ache o volume do solido gerado por rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = x c o s e c x , a reta x= 1 2 π , x= 1 4 π e eixo x.