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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 91a

O que aconteceria se você pudesse escrever uma função composta de diferentes maneiras? Você obteria sempre a mesma derivada? A regra da cadeia nos diz que sim. Tente fazer isso com a função abaixo.

Se y = x , determine d y / d x usando a regra da cadeia, sendo y uma função composta de

  1. y = u / 5 + 7 e u = 5 x - 35
  2. y = 1 + ( 1 / u ) e u = 1 / ( x - 1 )

Passo 1

Esta é uma questão muito boa! Nada melhor que verificarmos na prática que a regra da cadeia funciona, independentemente das funções que trabalhamos! Se y = f ( u ) e u = g x , temos a seguinte relação na nossa questão:

f g x = x

Se derivarmos esta expressão aplicando a regra da cadeia, obtemos:

d y d x = f ' g x ⋅ g ' x = 1

Portanto, precisamos determinar f ' ( u ) , g ' ( x ) e fazer a sua composição para aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar por determinar a derivada y ' = f ' ( u ) . Assim temos:

y ' = u 5 + 7 '

y ' = 1 5

Passo 3

Se aplicarmos a função g ( x ) em f ' ( u ) , obteremos:

f ' g x = f ' 5 x - 35 = 1 5

Passo 4

Vamos agora descobrir quem é g ' ( x ) . Portanto, temos:

g ' x = [ 5 x - 35 ] '

g ' x = 5

Passo 5

Só nos resta agora substituir tudo que obtemos na equação encontrada no Passo 1. Logo,

f ' g x ⋅ g ' x = 1

1 5 ⋅ 5 = 1

1 = 1

Acabamos de verificar que a regra da cadeia funciona, independentemente da função que utilizamos!

Resposta

d y d x = 1

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Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 4
Dadas f u = u 2 + 5 u + 5 e g x = ( x + 1 ) / ( x - 1 ) , ache a derivada de f ∘ g de duas maneiras: (a) encontrando primeiro ( f ∘ g ) ( x ) e então calculando ( f ∘ g ) ' ( x ) ; (b) usando a regra
Dada f (x) = x^3 e g (x) = f ( x^2 ) . Encontre (a) f ' ( x^2 ) ; (b) g ' ( x ) .
Suponha que f e g sejam funções, tais que (i) g ' ( x 1 ) e f ' g x 1 existam e (ii) para todo x ≠ x 1 em algum intervalo aberto contendo x 1 , g x - g x 1 ≠ 0 . Então, f ∘ g x - ( f ∘ g ) ( x 1 ) x -
Ache a derivada da função dada.f (x) = (5 - 3 x)^(2 // 3)