Dadas f u = u 2 + 5 u + 5 e g x = ( x + 1 ) / ( x - 1 ) , ache a derivada de f ∘ g de duas maneiras: (a) encontrando primeiro ( f ∘ g ) ( x ) e então calculando ( f ∘ g ) ' ( x ) ; (b) usando a regra da cadeia.

( f ∘ g ) ' ( x ) = - 2 ( 7 x - 3 ) x - 1 3

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 50

Dadas e , ache a derivada de de duas maneiras: (a) encontrando primeiro e então calculando ; (b) usando a regra da cadeia.

Passo 1

Esse é um exercício interessante pois pede para calcularmos a derivada de uma função composta na raça (item (a)) e usando a regra da cadeia (b). Para calcularmos na raça, precisamos escrever como uma função de e então tomar a derivada.

Já no item (b), vamos usar a regra da cadeia:

Passo 2

No item (a), precisamos primeiro achar a composta:

Então,

Fazendo o mmc:

Portanto,

Agora vamos usar a regra do quociente para calcular a derivada:

Assim,

Portanto,

Logo,

Portanto

Passo 3

Agora no item (b) vamos achar a derivada usando a regra da cadeia:

Vamos encontrar primeiro :

Fazendo , temos que

Por outro lado, usamos a regra do quociente para achar :

Assim,

Note que é a mesma resposta do item (a), como deve ser!

Resposta

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Sejam f (x) = x^5 e g (x) = 2 x - 3 . a) Encontre (f o g) (x) e (f o g)^' (x) . b) Encontre (g o f) (x) e (g o f)^' (x) .

Dado quef^' (0) = 2 , g (0) = 0 e g^' (0) = 3 encontre (f o g)^' (0) .

Encontre f^' (x) . f (x) = (x^3 - (7)/(x))^(- 2)

Dado quef^' (9) = 5 , g (2) = 9 e g^' (2) = - 3 encontre (f o g)^' (2) .

Encontre f^' (x) . f (x) = (3 x^2 + 2 x - 1)^6