Suponha que f e g sejam funções, tais que (i) g'(x1) e f' ( g(x₁) ) existam e (ii) para todo x ≠ x₁ em algum intervalo aberto contendo x_1 , g(x) - g(x₁) ≠ 0 . Então,

(f ◦ g)(x) - (f ◦ g)(x1) / (x - x1) = (f ◦ g)(x) - (f ◦ g)(x1) / (g(x) - g(x1)) ⋅ (g(x) - g(x1)) / (x - x1)

(a) Prove que quando x → x₁ e g(x) → g(x₁) , então (f ∘ g)'(x₁) = f'(g(x₁)) ⋅ g'(x₁) simplificando a prova da regra da cadeia sob a exigência adicional (ii). (b) Mostre que a prova da regra da cadeia dada na parte (a) aplica-se se f(x) = x^2 e g(x) = x^3 , mas que não se aplica se f(x) = x^2 e g(x) = sen(x) .

Passo 1

Bom, eu sei que depois de ler esse enunciado você deve estar coçando a cabeça e pular para a próxima questão. Mas vamos com calma que ele é bem mais simples do que parece!

Neste passo, vamos focar em resolver o item (a). Para a regra da cadeia valer, basta que a condição (i) seja satisfeita: g ' ( x 1 ) e f ' g x 1 devem existir. Todavia, nesse exercício devemos demonstrar a regra da cadeia considerando, além da condição (i), uma hipótese mais forte (ii): para todo x ≠ x 1 num intervalo aberto contendo x 1 , devemos ter g x ≠ g ( x 1 ) . Neste caso, podemos multiplicar e dividir o quociente de Newton por g x - g ( x 1 ) , obtendo

f ∘ g x - ( f ∘ g ) ( x 1 ) x - x 1 = f ∘ g x - ( f ∘ g ) ( x 1 ) g x - g ( x 1 ) ⋅ g x - g x 1 x - x 1

Assim,

f ∘ g x - ( f ∘ g ) ( x 1 ) x - x 1 = f g x - f g x 1 g x - g ( x 1 ) ⋅ g x - g x 1 x - x 1

Tomando o limite quando x → x 1 , temos que g x → g ( x 1 ) :

lim x → x 1 ⁡ f g x - f g x 1 g x - g ( x 1 ) ⋅ g x - g x 1 x - x 1 = = lim g x → g x 1 ⁡ f g x - f g x 1 g x - g x 1 ⋅ lim x → x 1 ⁡ g x - g x 1 x - x 1  

Como por hipótese f ' g x 1 e g ' ( x 1 ) existem, os limites existem e são iguais a essas derivadas:

lim x → x 1 ⁡ f g x - f g x 1 g x - g ( x 1 ) ⋅ g x - g x 1 x - x 1 = = f ' g x 1 ⋅ g ' ( x 1 )

Portanto,

f ∘ g ' x 1 = f ' g x 1 ⋅ g ' ( x 1 )

É importante ressaltar que a hipótese (ii) não é necessária para que a regra da cadeia seja válida, ela apenas é necessária para que essa demonstração que fizemos seja válida. No livro, ao longo da seção, é feita a demonstração mais geral possível que utiliza como hipótese apenas a condição (i).

Passo 2

Agora no item (b), vamos mostrar que a demonstração feita no item (a) é válida para f x = x 2 e g x = x 3 para qualquer x real. Para isso, basta verificar que as hipóteses (i) e (ii) são válidas.

A hipótese (i) é facilmente verificada: tanto f como g são deriváveis em todos pontos, sendo que f ' x = 2 x ⇒ f ' g x = 2 x 3 e g ' x = 3 x 2 .

Para verificarmos a hipótese (ii), note que g é uma função injetora, isto é, para x 1 ≠ x 2 , g x 1 ≠ g ( x 2 ) para quaisquer x 1 e x 2 ∈ R . Sendo assim, para qualquer x 1 ∈ R , existe um intervalo aberto contendo x 1 tal que g x ≠ g ( x 1 ) para x ≠ x 1 .

Como as hipóteses (i) e (ii) são válidas para essas função para todo x real, a demonstração feita no item (a) é válida para elas.

Passo 3

Agora vamos considerar que f x = x 2 e g x = s g n   x . g é a função sinal, dada por

g x = - 1 ,       s e   x < 0 0 ,         s e   x = 0 + 1 ,         s e   x > 0

Note que g não é nem contínua em x = 0 , de modo que g ' ( 0 ) não existe, já quebrando a hipótese (i) nesse ponto. De fato, g não é derivável em x = 0 mas é nos demais valores de x .

Todavia, para x ≠ 0 , apesar de a hipótese (i) ser satisfeita e a regra da cadeia ser aplicável, não podemos aplicar a demonstração do item (a) porque para um intervalo aberto contendo x 1 ≠ 0 , sempre vamos ter x ≠ x 1 tal que g x = g ( x 1 ) .

Resposta

Demonstração.

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