Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 54
Suponha que e sejam funções, tais que (i) e existam e (ii) para todo em algum intervalo aberto contendo , . Então,
(a) Prove que quando e , então simplificando a prova da regra da cadeia sob a exigência adicional (ii). (b) Mostre que a prova da regra da cadeia dada na parte (a) aplica-se se e , mas que não se aplica se e .
Passo 1
Bom, eu sei que depois de ler esse enunciado você deve estar coçando a cabeça e pular para a próxima questão. Mas vamos com calma que ele é bem mais simples do que parece!
Neste passo, vamos focar em resolver o item (a). Para a regra da cadeia valer, basta que a condição (i) seja satisfeita: e devem existir. Todavia, nesse exercício devemos demonstrar a regra da cadeia considerando, além da condição (i), uma hipótese mais forte (ii): para todo num intervalo aberto contendo , devemos ter . Neste caso, podemos multiplicar e dividir o quociente de Newton por , obtendo
Assim,
Tomando o limite quando , temos que :
Como por hipótese e existem, os limites existem e são iguais a essas derivadas:
Portanto,
É importante ressaltar que a hipótese (ii) não é necessária para que a regra da cadeia seja válida, ela apenas é necessária para que essa demonstração que fizemos seja válida. No livro, ao longo da seção, é feita a demonstração mais geral possível que utiliza como hipótese apenas a condição (i).
Passo 2
Agora no item (b), vamos mostrar que a demonstração feita no item (a) é válida para e para qualquer real. Para isso, basta verificar que as hipóteses (i) e (ii) são válidas.
A hipótese (i) é facilmente verificada: tanto como são deriváveis em todos pontos, sendo que e .
Para verificarmos a hipótese (ii), note que é uma função injetora, isto é, para , para quaisquer e . Sendo assim, para qualquer , existe um intervalo aberto contendo tal que para .
Como as hipóteses (i) e (ii) são válidas para essas função para todo real, a demonstração feita no item (a) é válida para elas.
Passo 3
Agora vamos considerar que e . é a função sinal, dada por
Note que não é nem contínua em , de modo que não existe, já quebrando a hipótese (i) nesse ponto. De fato, não é derivável em mas é nos demais valores de .
Todavia, para , apesar de a hipótese (i) ser satisfeita e a regra da cadeia ser aplicável, não podemos aplicar a demonstração do item (a) porque para um intervalo aberto contendo , sempre vamos ter tal que .
Resposta
Demonstração.