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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 92a

O que aconteceria se você pudesse escrever uma função composta de diferentes maneiras? Você obteria sempre a mesma derivada? A regra da cadeia nos diz que sim. Tente fazer isso com a função abaixo.

Se y = x 3 / 2   , determine d y / d x usando a regra da cadeia, sendo y uma função composta de

  1. y = u 3 e u = x
  2. y = u e u = x 3

Passo 1

Esta é uma questão muito boa! Nada melhor que verificarmos na prática que a regra da cadeia funciona, independentemente das funções que trabalhamos! Se y = f ( u ) e u = g x , temos a seguinte relação na nossa questão:

f g x = x 3 / 2

Se derivarmos esta expressão aplicando a regra da cadeia, obtemos:

d y d x = f ' g x ⋅ g ' x = 3 2 ⋅ x 1 2 = 3 2 ⋅ x  

Portanto, precisamos determinar f ' ( u ) , g ' ( x ) e fazer a sua composição para aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar por determinar a derivada y ' = f ' ( u ) . Assim temos:

y ' = u 3 '

y ' = 3 u 2

Passo 3

Se aplicarmos a função g ( x ) em f ' ( u ) , obteremos:

f ' g x = f ' x = 3 ⋅ x 2 = 3 ⋅ x

Passo 4

Vamos agora descobrir quem é g ' ( x ) . Portanto, temos:

g ' x = [ x ] '

g ' x = 1 2 x

Passo 5

Só nos resta agora substituir tudo que obtemos na equação encontrada no Passo 1. Logo,

f ' g x ⋅ g ' x = 3 2 ⋅ x

3 x ⋅ 1 2 x = 3 2 ⋅ x

3 2 x = 3 2 ⋅ x

Acabamos de verificar que a regra da cadeia funciona, independentemente da função que utilizamos!

Resposta

d y d x = 3 2 ⋅ x

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