Administrando um Recurso Renovável. Suponha que a população y de determinada espécie de peixe (por exemplor, atum ou linguado gigante) em certa área do oceano é descrita pela equação logística

dy/dt = r(1 - y/K)y

Embora seja desejável utilizar essa fonte de alimento, é claro, instuitivamente, que, se forem pescados peixes demais, a população de peixes pode ser reduzida a um nível abaixo de utilizade, podemos até ser levada à extinção. Os problemas 20 e 21 exploram algumas das questões envolvidas na formulação de uma estratégia racional para administrar a pesca.

21. Nesse problema vamos supor que os peixes são pegos a uma taxa constante h independente do tamanho da população. Então y satifaz

dy/dt = r(1 - y/K) y - h

A hipótese de que a taxa de pesca h é constante pode ser razoável quando y é muito grande, mas torna-se menos razoável quando y é pequeno.

(a) Se h < r * K / 4 , mostre que a Eq. Tem dois pontos de equilíbrio y₁ e y₂ com y1 < y2 ; determine esses pontos.

(b) Mostre que y₁ é instável e que y₂ é assintoticamente estável.

(c) Analisando o gráfico f(y) em função de y , mostre que, se a população inicial y0 > y1 , então y → y₂ quando t → infinito ; mas, se y_0 < y_1 , então y diminuiu quando t aumenta. Note que y = 0 não é um ponto de equilíbrio, de modo que, se y_0 < y_1 , a população será extinta em um tempo finito.

(d) Se h > r K / 4 , mostre que y diminui até zero quando t aumenta, independente do valor de y_0 .

(e) Se h = r * K / 4 , mostre que existe um único ponto de equilíbrio y = K / 2 e que esse ponto é semiestável (veja o problema 7). Logo, a produção máxima sustentável é h_m = r * K / 4 , correspondendo ao valor de equilíbrio y = K / 2 . Note que h_m tem o mesmo valor que Y_m no problema 20(d). A pesca é considerada superexploratada se y se reduzir a um nível abaixo de K / 2 .

Passo 1

Meus deus, que questão gigante. Nem quero mais faze-la, mas fazer o que...

Neste primeiro passo ficamos só com a parte que nos assustamos com o tamanho da questão, mas vamos já indicar que ela é trabalhosa, não difícil.

Passo 2

(a) Primeiro vamos analisar de forma mais geral os pontos críticos e depois começar a fazer as considerações solicitadas.

Os pontos críticos (equilíbrio) são aqueles onde a derivada da nossa função y é nula, ou seja

r 1 - y K y - h = 0

Resolvendo, ficamos com

y 2 - K y + K h r = 0

Uma equação de segundo grau. Lembra de báskara?

y = K ( 1 ± 1 - 4 h / r K   )  

Onde nossa raiz só tem sentido real para

1 - 4 h r K > 0

Ou seja, teremos doi pontos de equilíbri se, e somente se

h < r K 4

Passo 3

(b) Para sabermos sobre a estabilidade do nossos pontos, vamos derivar mais uma vez nossa função e analisar o sinal da mesma próximo aos pontos.

Da nossa função, temos que

d 2 y d t 2 = r 1 - y K - y K = r 1 - 2 y K

Para y 1 = K ( 1 + 1 - 4 h / r K   )

d 2 y / d t 2 ​ y 1   = r ( 1 - 4 h / r K   ) < 0

E para y 2 = K ( 1 - 1 - 4 h / r K   )

d 2 y / d t 2 ​ y 2   = r ( - 1 - 4 h / r K   ) > 0

Assim para y 1 nosso ponto é assintoticamente instavel. E para y 2 temos um ponto que é assintoticamente estável.

Passo 4

(c) Olhando para o gráfico de f y por y onde h < r K / 4 temos que em y 0 > y 1 , por y 1 se tratar de um ponto instável, temos que quando t → ∞ y → y 2 . Já se y 0 < y 1 , temos que quando t aumenta, temos que y diminui

Passo 5

(d) Se h > r K / 4   , temos que não há ponto de instabilidade e

Quando t aumenta, temos que y diminui drasticamente.

Passo 6

(e) Quando h = r K / 4 , então

1 - 4 h / r K = 1

E y 1 = y 2 = K e não K / 2 como sugerido

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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