Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.5 - Ex. 14
Em 1925, Lotka e Volterra apresentaram as equações predador- presa, um sistema de equações que simula as populações de duas espécies, uma que preda a outra. Suponha que represente o número de coelhos vivos em uma região no instante e , o número de raposas na mesma região. Com o passar do tempo, o número de coelhos aumenta a uma taxa proporcional à sua população, e diminui a uma taxa proporcional ao número de encontros entre coelhos e raposas. As raposas, que competem por alimento, aumentam em número, a uma taxa proporcional ao número de encontros com os coelhos, mas diminuem a uma taxa proporcional ao número de raposas. Suponha que o número de encontros entre coelhos e raposas seja proporcional ao produto das duas populações. Essas hipóteses levam ao sistema autônomo
onde são constantes positivas. Os valores dessas constantes variam de acordo com a situação específica que está sendo modelada. Podemos estudar a natureza da variação da população sem ajustar essas constantes a valores específicos.
Em um momento durante um ciclo de trajetória, um lobo invade o território de coelhos e raposas, come alguns coelhos e depois parte. Isso significa que a população de raposas terá, a partir de então, um valor máximo mais baixo? Justifique sua resposta.
Passo 1
Com base no texto e nas informações apresentadas referentes a cada variável ( devemos mostrar o que acontece com a influência de um fator externo, no nosso caso, a presença dos lobos que irão comer alguns coelhos e ir embora, ou seja, precisamos mostrar que a população de raposas vai ter um valor de máximo mais baixo por conta disso.
Passo 2
Para essa situação podemos elencar 3 casos diferentes de situações possíveis:
1º - Se a população de coelhos começar antes do lobo e terminar depois do lobo em um valor maior que o nível de equilíbrio de , a trajetória se aproxima do equilíbrio e o valor máximo das raposas é menor;
2º- Se a população de coelhos começa antes do lobo e termina depois do lobo em um valor menor que o nível de equilíbrio , mas maior do que 0 isso implica na trajetória se mover mais longe do equilíbrio e do máximo ;
3º - Se a população de coelhos começar e terminar muito perto do valor de equilíbrio, a trajetória permanecerá próxima do valor de equilíbrio, pois é um equilíbrio estável e a população de raposas permanecerá praticamente a mesma.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)