Enunciado

Quais das afirmações a seguir com relação à função y = f ( x ) representada graficamente aqui são verdadeiras? E quais são falsas?

a ) lim x → 2 ⁡ f ( x ) não existe

b ) lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 2

c ) lim x → 1 ⁡ f ( x ) não existe

d ) lim x → x 0 ⁡ f ( x ) existe em todo x 0 em ( - 1,1 )

e ) lim x → x 0 ⁡ f ( x ) existe em todo x 0 em ( 1 , 3 )

Passo 1

Questão envolvendo limite num ponto x = a e gráfico só tem uma coisa a se fazer: olhar o gráfico da função um pouco a esquerda (vamos chamar isso de a - ) e um pouco a direita (vamos chamar isso de a + ) de x = a .

Se os gráficos coincidirem, ótimo o limite existe e vale o valor do gráfico naquele ponto! Se não coincidir o limite não vai existir!

Essa questão envolve 2 pontos ( x = 2 ,   x = 1 ) e depois dois intervalos: ( - 1,1 ) e ( 1,3 ) . Então vamos calcular esses limites separadamente e depois analisamos as afirmações que ele deu!

Passo 2

Como o limite é pedido no ponto x = 2 , vamos olhar o gráfico nesse ponto:

Olhando pela esquerda, vemos que a função se aproxima de 1, ou seja:

lim x → 2 - ⁡ f x = 1

Olhando pela direita, vemos que a função se aproxima de 1, ou seja:

lim x → 2 + ⁡ f x = 1

Como os limites deram iguais, temos que:

lim x → 2 ⁡ f x = 1

OBS: Só olhamos os valores da função ao redor do ponto e não exatamente o valor da função no ponto, ok?! Mesmo f 2 = 0 , ao redor do ponto a função está indo para 1 que é o valor do limite.

Passo 3

b) Como o limite é pedido no ponto x = 1 , vamos olhar o gráfico nesse ponto:

Olhando pela esquerda, vemos que a função se aproxima de -2, ou seja:

lim x → 1 - ⁡ f x = - 2

Olhando pela direita, vemos que a função se aproxima de 0, ou seja:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = 0

Tá vendo como deu diferente? Então o limite não existe!

Passo 4

Vamos olhar agora para o intervalo ( - 1,1 ) como um todo. Desenhei ele aqui embaixo para ficar mais fácil:

Para todos os pontos nesse intervalo, a função se aproxima sempre dos mesmos valores tanto pela esquerda quanto pela direita, então o limite existe para todos os valores! Eu fiz dois gráficos aqui embaixo: peguei um ponto qualquer entre - 1 e 0 e depois outro ponto qualquer entre 0 e 1 só para você ter certeza de que o limite vai existir de fato.

Mais uma coisa interessante que podemos dizer desse caso específico é que para essa função, nesse intervalo, o limite vai sempre coincidir com o valor da função! (Nem sempre isso acontece, já vimos no passo 2 um contra-exemplo :D)

Passo 5

Vamos olhar agora para o intervalo ( 1 , 3 ) como um todo. Desenhei ele aqui embaixo para ficar mais fácil:

Para todos os pontos nesse intervalo, a função se aproxima sempre dos mesmos valores tanto pela esquerda quanto pela direita, então o limite existe para todos os valores! Eu fiz dois gráficos aqui embaixo: peguei um ponto qualquer entre 1 e 2 e depois outro ponto qualquer entre 2 e 3 só para você ter certeza de que o limite vai existir de fato.

Passo 6

Vamos ver as afirmações que ele deu:

a ) lim x → 2 ⁡ f ( x ) não existe

Vimos no passo 2 que existe e vale 1 ! Então essa daí é mentirosa.

b ) lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 2

Maior falsidade isso aí! Vimos no passo 2 que esse limite vale 1!

c ) lim x → 1 ⁡ f ( x ) não existe

Verdadeiríssimo! No passo 3 vimos que por um lado vai para - 2 e pelo outro vai para 0 .

d ) lim x → x 0 ⁡ f ( x ) existe em todo x 0 em ( - 1,1 )

Corretíssimo! Vimos no passo 4 que existe e que o valor coincide com o da função nos pontos.

e ) lim x → x 0 ⁡ f ( x ) existe em todo x 0 em ( 1,3 )

Verdadeiro.

Resposta

a) Falso

b) Falso

c) Verdadeiro

d) Verdadeiro

e) Verdadeiro

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Calcule o limite, se existir. lim x → 2 ⁡ x ² - x + 6 x - 2 ²
Calcule.underset(x - + oo)(lim) (0,13)^x
Calcule.underset(x - + oo)(lim) 3^x
Calcule.underset(x - - oo)(lim) 5^x
Calcule.underset(x - - oo)(lim) e^x