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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 7

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

  1. ∫ - 1 1 5 r 4 + r 2 2 d r
  2. ∫ 0 1 5 r 4 + r 2 2 d r

Passo 1

Vamos começar relembrando do Teorema 7:

∫ a b f g x ∙ g ' x d x = ∫ g a g b f u d u

Assim, faremos uma mudança de variável:

u = 4 + r 2

Derivando dos dois lados:

d u = 0 + 2 r d r

d u 2 = r d r

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral:

r = - 1 → u = 4 + - 1 2 = 5

r = 1 → u = 4 + 1 2 = 5

Assim,

∫ - 1 1 5 r 4 + r 2 2 d r = 5 ∫ - 1 1 1 4 + r 2 2 r d r = 5 ∫ 5 5 1 u 2 ∙ d u 2

Calculando a integral:

5 2 ∫ 5 5 1 u 2 d u = 0

Passo 2

Fazendo agora para os outros limites superior e inferior:

r = 0 → u = 4 + 0 2 = 4

r = 1 → u = 4 + 1 2 = 5

Assim,

5 2 ∫ 4 5 1 u 2 d u = 5 2 u - 1 - 1 4 5 = 5 2 - 1 5 - - 1 4 = 5 2 - 1 5 + 1 4 = 1 8

Resposta

  1. 0
  2. 1 / 8
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