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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 86

A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para fabricar uma nova calculadora. A taxa de produção dessas calculadoras após t semanas é

d x d t = 5000   1 - 100 t + 10 2             c a l c u l a d o r a s / s e m a n a

(Observe que a produção tende a 5 000 por semana à medida que passa o tempo, mas a produção inicial é baixa, pois os trabalhadores não estão familiarizados com as novas técnicas.)

Encontre o número de calculadoras produzidas no começo da terceira semana até o fim da quarta semana.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos uma fabricação de calculadora a uma taxa de:

d x d t = 5000   1 - 100 t + 10 2             c a l c u l a d o r a s / s e m a n a

A taxa de produção é dada em função das calculadoras produzidas por tempo, ou seja, é a derivada: d x d t . Então, x está representando o número de calculadoras, tudo certo até aqui?

Se queremos x , então vamos isolá-lo:

d x = 5000   1 - 100 t + 10 2 d t

Para obtermos o x a partir da derivada, integramos certo?

∫ 2 4 d x = ∫ 2 4 5000   1 - 100 t + 10 2 d t

Por que usamos esses intervalos? Fácil! Porque queremos a quantidade produzida do começo da terceira semana até o fim da quarta semana, totalizando 2 semanas. Entenderam aqui?

Estamos integrando do final da 2ª semana até o final da 4ª, ou seja, a 3ª e a 4ª semana completas.

Para resolver essa integral vamos usar a regra da substituição! Para isso vamos analisar a integral e encontra a parte mais chatinha de integrar! Concorda que é: t + 10 ? Então ele que será nosso u , depois disso calculado d u d t e isolamos d t , assim podemos montar nossa integral que será algo como:

∫ a ⋅ u ⋅ d u

Calculamos essa integral e depois voltamos ao valor original de x , aí é só avaliar os limites de integração e temos a reposta!

Só para nossa facilidade, as integrais que vamos usar são:

A da constante:

∫ c d x = c x + C

A da potência:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Agora sim, mãos na massa!

Passo 2

Então temos o seguinte Δ x para encontrar:

x 4 - x 2 = ∆ x

Que nada mais é que a primitiva da nossa função no limite superior, menos a primitiva da nossa função no limite inferior, e isso é exatamente a integral de d x ! Então x será:

x = ∫ 2 4 5000   1 - 100 t + 10 2 d t

Fazendo a distributiva dentro da integral:

∆ x = ∫ 2 4 5000 - 500000 t + 10 2 . d t  

Agora vamos separar a integral (Aplicando a propriedade que integral da soma é a soma das integrais)

∆ x = ∫ 2 4 5000 . d t   - ∫ 2 4 500000 t + 10 2 . d t  

Passo 3

Para resolver vamos começar removendo as constantes da integral, não é?

∆ x = 5 ⋅ 10 ³ ∫ 2 4 d t   - 5 × 10 5 ∫ 2 4 1 t + 10 2 . d t  

Aqui já resolvemos a integral da constante:

∆ x = 5 ⋅ 10 3 ⋅ t 2 4 - 5 ⋅ 10 5 ∫ 2 4 1 t + 10 2 . d t  

Agora falta a outra integral, para isso:

t + 10 = u

Derivando:

d t = d u

Substituímos:

∆ x = 5 ⋅ 10 3 ⋅ t 2 4 - 5 ⋅ 10 5 ∫ 2 4 1 u ² ⋅ d u  

∆ x = 5 ⋅ 10 3 ⋅ t 2 4 - 5 ⋅ 10 5 ∫ 2 4 u - 2 ⋅ d u  

Agora aplicando a primitiva:

∆ x = 5 ⋅ 10 3 ⋅ t 2 4 - 5 ⋅ 10 5 ⋅ u - 1 - 1 2 4

Substituímos u novamente para o valor original:

∆ x = 5 ⋅ 10 3 ⋅ t 2 4 - 5 ⋅ 10 5 ⋅ t + 10 - 1 - 1 2 4  

Reorganizando:

∆ x = 5 ⋅ 10 3 ⋅ t 2 4 + 5 ⋅ 10 5 t + 10 2 4

∆ x = 5 ⋅ 10 3 ⋅ t + 100 t + 10 2 4

Aplicando o intervalo:

∆ x = 5 ⋅ 10 3 ⋅ 4 + 100 4 + 10 - 2 + 100 2 + 10

∆ x = 5 ⋅ 10 3 ⋅ 4 + 100 14 - 2 + 100 12

Tirando o MMC:

∆ x = 5 ⋅ 10 3 ⋅ 156 14 - 124 12

∆ x = 5 ⋅ 10 3 ⋅ 136 168

Sendo assim:

∆ x ≅ 4048   c a l c u l a d o r a s  

Resposta

4048   c a l c u l a d o r a s   !  

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