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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 19

Encontre o comprimento de arco da curva do ponto P ao ponto Q .

y = 1 2 x 2 ,       P - 1 , 1 2 ,       Q 1 , 1 2

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento de arco da curva y = 1 2 x 2 , do ponto P - 1 , 1 2 ao ponto Q 1 , 1 2 .

Para calcular o comprimento dessa parábola, com x indo de - 1 até 1 , vamos usar a fórmula do comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Onde y ' é a derivada da nossa função e a ,   b = ( - 1 ,   1 ) . Então, vamos substituir tudo e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando y . Temos que:

y ' = 1 2 ∙ 2 x

→ y ' = x

Substituindo na nossa raiz, vamos ter:

1 + y ' 2 = 1 + x 2

Assim, nossa integral vai ficar:

L = ∫ - 1 1 1 + x 2   d x

Passo 3

Como o integrando é par, podemos usar a simetria da função para fazer:

L = 2 ∫ 0 1 1 + x 2   d x

Para resolver essa integral, vamos fazer x = tan ⁡ t ⇒ d x = sec 2 ⁡ t . Além disso, 1 + x 2 = sec ⁡ t . Assim, substituindo, temos:

L = 2 ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ t   d t

Para calcular a integral da secante ao cubo, vamos usar integral por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 4

Chamando u = sec ⁡ t e d v = sec 2 ⁡ t   d t , temos:

d u = sec ⁡ t ∙ tan ⁡ t   d t

v = tan ⁡ t

Substituindo tudo na integral, ficamos com:

∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ t   d t

= sec ⁡ t tan ⁡ t 0 π 4 - ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ t ∙ sec ⁡ t

= 2 - ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ t ∙ sec ⁡ t

Por outro lado, podemos escrever tan 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ - 1 , assim:

∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ t   d t = 2 - ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ t   d t + ∫ 0 π 4 sec ⁡ t   d t

Veja que uma integral se repete, então podemos passar ela para o outro lado:

2 ∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ t   d t = 2 + ∫ 0 π 4 sec ⁡ t   d t

E integrando, temos:

= 2 + ln ⁡ sec ⁡ t + t g   t 0 π 4

Aplicando os limites de integração:

= 2 + ln ⁡ ( 1 + 2 )

Assim:

∫ 0 π 4 sec 3 ⁡ t   d t = 1 2 2 + ln ⁡ 1 + 2

E o nosso comprimento de arco será:

L = 2 + ln ⁡ 1 + 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 + ln ⁡ 1 + 2

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