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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.5 - Ex. 84

A Alabama Instruments Company preparou uma linha de montagem para fabricar uma nova calculadora. A taxa de produção dessas calculadoras após t semanas é

d x d t = 5000   1 - 100 t + 10 2             c a l c u l a d o r a s / s e m a n a

(Observe que a produção tende a 5000 por semana à medida que passa o tempo, mas a produção inicial é baixa, pois os trabalhadores não estão familiarizados com as novas técnicas.)

Encontre o número de calculadoras produzidas no começo da terceira semana até o fim da quarta semana.

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa questão! Precisamos encontrar a quantidade de calculadoras no começo da terceira semana até o fim da quarta semana… Bom, vamos pensar um pouquinho…

A taxa de produção é dada em função das calculadoras produzidas por tempo, ou seja, d x d t . Então, x está representando o número de calculadoras, tudo certo até aqui?

Se queremos x , então vamos isolá-lo assim olha:

d x = 5000   1 - 100 t + 10 2 d t

Agora precisamos do x , né? Para conseguir ele a partir da derivada devemos integrá-lo, desse jeito aqui:

∫ d x = ∫ 5000   1 - 100 t + 10 2 d t

Mas quem vai ser nossos limites de integração? Bom, o enunciado falou do começo da terceira semana até o fim da quarta semana, né? Então temos duas semanas para avaliar… Ficamos então com:

∫ 2 4 d x = ∫ 2 4 5000   1 - 100 t + 10 2 d t

x 4 - x 2 = ∆ x = ∫ 2 4 5000   1 - 100 t + 10 2 d t

∆ x = 5000   .   ∫ 2 4   1 - 100 t + 10 2 d t

∆ x = 5000   .   ∫ 2 4   1   d t   -   ∫ 2 4 100 t + 10 2   d t

∆ x = 5000   .   t   | 2 4   -   100   .   ∫ 2 4 1 t + 10 2   d t

∆ x = 5000   .   4 - 2   -   100   .   ∫ 2 4 1 t + 10 2   d t

Passo 2

Essa integral que ta faltando a gente resolver, pode ser feita considerando o seguinte:

u = t + 10 d u = d t

Substituindo isso ficaremos com:

∆ x = 5000   .   2   -   100   .   ∫ 2 4 1 u 2   d u

∆ x = 5000   .   2   -   100   .     - 1 u 2 4

E voltando para o t :

∆ x = 5000   .   2   -   100   .     - 1 t + 10 2 4

∆ x = 5000   .   2   -   100   .     - 1 4 + 10 + 1 2 + 10

∆ x = 5000   .   2   -   100   .     - 1 14 + 1 12

Fazendo o M.M.C. vamos ficar com:

∆ x = 5000   .   2   -   100   .   1 84

∆ x = 5000   .   2   - 100 84

∆ x = 5000   .   68 84

∆ x =   340000 84

∆ x = 4047,62

Mas como estamos trabalhando com número de calculadoras, precisamos de um número inteiro… Então:

∆ x = 4048

Show! Conseguimos! Teremos 4048 calculadoras!

Resposta

Foram produzidas 4048 calculadoras.

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