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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 16

Encontre d^2 y // d x^2 por derivação implícita.

x y + y^2 = 2

Passo 1

Bom galera, vamos começar derivando uma vez tudo, assim a gente fica:

x y + y^2 = 2

-> (d)/(d x) [x y] + (d)/(d x) [y^2] = (d)/(d x) [2]

-> y + x (d y)/(d x) + 2 y (d y)/(d x) = 0

Vamos colocar d y // d x em evidência:

-> y + (d y)/(d x) (x + 2 y) = 0

Logo, temos:

-> (d y)/(d x) = - (y)/(x + 2 y)

Passo 2

Belezinha, agora derivamos denovo com a regra do produto:

(d y)/(d x) = - (y)/(x + 2 y)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (- (d y)/(d x) (x + 2 y) + y (1 + 2 (d y)/(d x)))/((x + 2 y)^2)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (y - x (d y)/(d x))/((x + 2 y)^2)

Passo 3

Show de bola, a gente pode substituir (d y)/(d x) pelo que já encontramos no passo 1:

(d^2 y)/(d x^2) = (y - x (d y)/(d x))/((x + 2 y)^2)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (y - x * (- (y)/(x + 2 y)))/((x + 2 y)^2)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (y + (x y)/(x + 2 y))/((x + 2 y)^2)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (y ( x + 2 y ) + x y)/((x + 2 y)^3)

-> (d^2 y)/(d x^2) = (2 y (x + y))/((x + 2 y)^3)

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = (2 y (x + y))/((x + 2 y)^3)

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