É alguma vez verdade que f ∘ g = g ∘ f e f e g forem funções não constantes? Se não, prove; se afirmativo, dê alguns exemplos para os quais é verdade.

Passo 1

Bom, queremos que f ∘ g = g ∘ f , isto é:

f g x = g f x

Para f ( x ) e g ( x ) não constantes.

Bom, vamos pegar uma f e uma g aleatórias. Eu prefiro trabalhar com as retas, então vou pegar duas retas, mas esse é um problema que deixa muito em aberto sobre quais funções pegar, ok? Elas só não podem ser constantes! Então:

f x = a x + b

g x = c x + d

a e b são números, ok? Duas retas quaisquer. Vamos fazer as composições:

f g x = a c x + d + b

g f x = c a x + b + d

E em que momento:

f g x = g f x

a c x + d + b =   c a x + b + d

...? Bem, se a = c e b = d :

a a x + b + b = a a x + b + b

Opa, os dois lados estã iguais! Então, se tivermos g x = f x = a x + b , para qualquer a e qualquer b , teremos f ∘ g = g ∘ f .

Então, sim!! É verdade que isso pode acontecer!! E já demos os exemplos de todas as retas a x + b hahah. E o mesmo aconteceria se g x = f x = a x 2 + b x + c :

f g x = g f x

a ( a x 2 + b x + c ) 2 + b ( a x 2 + b x + c ) + c =   a ( a x 2 + b x + c ) 2 + b ( a x 2 + b x + c ) + c

Então, sempre que f e g forem iguais, essa sentença f ∘ g = g ∘ f estará certa!!

Resposta

Correto, explicação no passo a passo.

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