Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.3 (exercícios de compreensão) - Ex. 3

Considere a família de funções , em que é um inteiro não nulo. Encontre o domínio natural dessas funções se for

(a) Positivo e par

(b) Negativo e par

(c) Positivo e ímpar

(d) Negativo e ímpar

Passo 1

Nós temos essa família de funções:

Então, se for par, por exemplo :

E aí teremos uma restrição no domínio, já que não podemos ter dentro da raiz. Logo, o domínio será:

E isso acontece para todo par.

Sendo ímpar, por exemplo :

E como todo número real tem raiz cúbica, não teremos restrições no domínio, sendo assim, ele será:

E isso acontece para todo ímpar.

Ok? Vamos usar esse raciocínio para analisar cada alternativa.

Passo 2

(a) Positivo e par. Nesse caso, e é par também.

Como vimos no passo anterior, sendo par já restringe o domínio para apenas . E ele sendo positivo? Isso só quer dizer que teremos a função no estilo:

Obs.: Se fosse negativo, seria algo assim:

Bom, e como já analisamos com par antes, o domínio será:

Passo 3

(b) Negativo e par. Nesse caso, e é par também.

Como vimos no passo 1, sendo par já restringe o domínio para apenas . E ele sendo negativo? Vimos no passo anterior que será algo do tipo:

Agora, temos a restrição do par e uma restrição pela divisão por , que não queremos também! Para ocorrer uma divisão por , e isso só acontece quando , logo ele também será retirado do nosso domínio!

Dessa forma, o domínio será:

Passo 4

Como vimos no passo 1, com sendo ímpar não teremos restrições ainda, pois o domínio ainda é . E ele sendo positivo? Vimos no passo 2 que será algo do tipo:

Bom, já vimos que esse tipo de função também não tem restrições! Já analisamos ela no passo 1 e vimos que o domínio será:

Passo 5

(d) Negativo e ímpar. Nesse caso, e é ímpar também.

Como vimos no passo 1, com sendo ímpar não teremos restrições ainda, pois o domínio ainda é . E ele sendo negativo? Vimos no passo anterior que será algo do tipo:

Bom, já vimos que esse tipo de função tem restrição de que não podemos ter uma divisão por ! E isso acontece quando . Como essa é a nossa única restrição, o domínio será: